Esperanza matemática
De Wikillerato
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- | + | Sea <math>X</math> una variable aleatoria, el "Valor Esperado" o "Esperanza Matemática" de dicha variable es el número representado como <math>E[X]</math> y que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio. | |
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- | + | En caso que <math>X</math> sea una variable aleatoria discreta con valores <math>x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}</math> y sus probabilidades estén representadas por la función discreta de probabilidad <math>p(x_{1}), p(x_{2}), ..., p(x_{n})</math>, la esperanza se calcula como: | |
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- | E | + | <math>E[X] = x_{1} p( x_{1} ) + x_{2} p( x_{2} ) + ... + x_{n} p( x_{n} ) = \sum_{i=1}^{n} x_{i} p(x_{i}) </math> |
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+ | '''Caso continuo''' | ||
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+ | En caso en que <math>X</math> sea una variable aleatoria continua, la esperanza se calcula mediante la integral de todos los valores y la función de densidad <math>f(x)</math>: | ||
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+ | <math>E[X] = \int_{\infty}^{-\infty} x f(x) dx</math> | ||
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+ | == Propiedades de la Esperanza:== | ||
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+ | Para poder operar con la esperanza debemos conocer sus propiedades. Sean <math>X</math> e <math>Y</math> dos variables aleatorias, y <math>c</math> una constante, se pueden aplicar las siguientes operaciones: | ||
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+ | * <math>E[c] = c</math> | ||
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+ | * <math>E[cX] = cE[X]</math> | ||
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+ | * <math>$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$</math> | ||
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+ | * <math> E(X - Y) = E(X) - E(Y)</math> | ||
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+ | * <math> E(XY) = E(X) E(Y)</math> | ||
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+ | == Ejemplo:== | ||
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+ | Representemos con <math>X</math> la variable aleatoria que representa una tirada con un dado de 6 caras. Los posibles valores de <math>X</math> son <math>1, 2, 3, 4, 5, </math> y <math>6</math> todos ellos con la misma probalibilidad <math>\frac{1}{6}</math>, la esperanza de <math>X</math> es: | ||
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+ | <math>E[X] = 1\cdot\frac{1}{6} + 2\cdot\frac{1}{6} + 3\cdot\frac{1}{6} + 4\cdot\frac{1}{6} + 5\cdot\frac{1}{6} + 6\cdot\frac{1}{6} = 3.5</math> | ||
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+ | [[Categoría:Matemáticas]] |
Revisión actual
Sea una variable aleatoria, el "Valor Esperado" o "Esperanza Matemática" de dicha variable es el número representado como y que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.
Caso discreto
En caso que sea una variable aleatoria discreta con valores y sus probabilidades estén representadas por la función discreta de probabilidad , la esperanza se calcula como:
Caso continuo
En caso en que sea una variable aleatoria continua, la esperanza se calcula mediante la integral de todos los valores y la función de densidad :
Propiedades de la Esperanza:
Para poder operar con la esperanza debemos conocer sus propiedades. Sean e dos variables aleatorias, y una constante, se pueden aplicar las siguientes operaciones:
Ejemplo:
Representemos con la variable aleatoria que representa una tirada con un dado de 6 caras. Los posibles valores de son y todos ellos con la misma probalibilidad , la esperanza de es:
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