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Primitiva de una función

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I \quad \Leftrightarrow \quad \left( \, \mathrm{F}^\prime \left( \, x \, \right) =
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Calcular la primitiva de una función es el proceso inverso al de calcular su derivada.
Calcular la primitiva de una función es el proceso inverso al de calcular su derivada.
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, &nbsp; entonces existe un número real &nbsp;
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C
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\mathrm{F} \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{G} \left( \, x \, \right)
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\, + \, C
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<math> f(x) = x^2</math>.
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Reciprocamente, si a una primitiva de una función &nbsp;
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&nbsp; le añadimos una constante
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C
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, &nbsp; entonces obtenemos otra primitiva de &nbsp;
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Su derivada que denotaremos por <math>g(x)</math> es:
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<math> g(x) = f' (x) = 2 x</math>,
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===Ejemplo===
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por lo que la primitiva de <math>g(x)</math> que denotaremos como <math>\int g(x)</math> es igual a:
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<math>\int g(x) = \int 2x = x^2 = f(x)</math>.
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&nbsp;
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<math>
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\mathrm{F} \left( \, x \, \right) \, = \, x^2
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</math>
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&nbsp; y &nbsp;
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<math>
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\mathrm{G} \left( \, x \, \right) \, = \, x^2 \, + \, 7
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</math>
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&nbsp; son dos funciones primitivas de &nbsp;
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<math>
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\mathrm{f}\left(\,x\,\right)\,=\,2\cdot x
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</math>,
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&nbsp; ya que
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Sin embargo, el resultado anterior es '''sólo''' parcialmente correcto. El problema es que la inversa de la derivada no es única. Si os dais cuenta, podemos sumar a f(x) una constante y su derivada no cambiará.
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Por lo tanto si:
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\mathrm{F}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \,
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\mathrm{G}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \,
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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</math>
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</center>
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<math>f'(x) = g(x)</math>,
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tenemos que
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Observese que la diferencia &nbsp;
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\mathrm{G} \left( \, x \, \right) \, - \,
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\mathrm{F} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
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&nbsp; es una constante ( = 7 ).
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<math>\int g(x) = f(x) + C</math>,
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<br/>
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donde <math>C</math> es una constante.
+
[[Category: Matemáticas]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

Definición


Dadas dos funciones   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  y   
\mathrm{F} \left( \, x \, \right)
,   definidas en un intervalo   
</p>
<pre>I =
</pre>
<p>\left[
</p>
<pre> \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right]
,   diremos que   
\mathrm{F} \left( \, x \, \right)
  es una función primitiva de   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  en 
I
si la derivada de   
\mathrm{F} \left( \, x \, \right)
  es la función   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  en el intervalo   
I
.



\mathrm{F} \left( \, x \, \right)
  es primitiva de   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  en   
I \quad \Leftrightarrow \quad \left( \, \mathrm{F}^\prime \left( \, x \, \right) =
</p>
<pre>\mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in I \, \right)
</pre>
<p>


Calcular la primitiva de una función es el proceso inverso al de calcular su derivada.


Ejemplo


Consideremos la función   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^2
  y denotemos por   
\mathrm{g} 
  la derivada de   
\mathrm{f}
,   es decir:



\mathrm{g} \left( \,x \, \right) \, =
\, \mathrm{f}^\prime \left( \,x \, \right) \, = \, 2 \cdot x


Entonces una primitiva de   
\mathrm{g} \left( \, x \, \right)
  es   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
.


¿Cuantas primitivas puede tener una función?


Una función cualquiera admite infinitas primitivas, de hecho


Dos funciones son primitivas de una misma función si y solo si se diferencian solo en una constante aditiva.


Es decir, si   
\mathrm{F}
  y   
\mathrm{G}
  son primitivas de   
\mathrm{f}
,   entonces existe un número real   
C
,   tal que



\mathrm{F} \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{G} \left( \, x \, \right)
</p>
<pre>\, + \, C
</pre>
<p>


Reciprocamente, si a una primitiva de una función   
\mathrm{f}
  le añadimos una constante   
C
,   entonces obtenemos otra primitiva de   
\mathrm{f}
.


Ejemplo


  
\mathrm{F} \left( \, x \, \right) \, = \, x^2
  y   
\mathrm{G} \left( \, x \, \right) \, = \, x^2 \, + \, 7
  son dos funciones primitivas de   
\mathrm{f}\left(\,x\,\right)\,=\,2\cdot x
,   ya que



\mathrm{F}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \,
\mathrm{G}^\prime  \left( \, x \, \right) \, = \,
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)


Observese que la diferencia   
\mathrm{G} \left( \, x \, \right) \, - \,
\mathrm{F}  \left( \, x \, \right)
  es una constante ( = 7 ).


   
 
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