La derivada como una tasa de variación instantánea
De Wikillerato
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- | Supongamos que un coche de | + | Supongamos que un coche de fórmula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A |
distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la | distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la | ||
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y | y | ||
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- | , se puede ver como una función, | + | , se puede ver como una función, |
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\mathrm{f} | \mathrm{f} | ||
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x | x | ||
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\frac{\mathrm{f} \left( \, 13.4 \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, 9 \, | \frac{\mathrm{f} \left( \, 13.4 \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, 9 \, | ||
- | \right)}{6.7 \, - \, 4.5} \, = \, | + | \right)}{13.4 \, - \, 9} \, = \, \frac{6.7 \, - \, 4.5}{13.4 \, - \, 9} \, = \, 0.5 |
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- | En general, la tasa de variación media de la función | + | En general, la tasa de variación media de la función |
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\mathrm{f} | \mathrm{f} | ||
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- | + | en el periodo que va desde el instante | |
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- | + | t_1 | |
- | + | </math> | |
- | + | hasta el instante | |
+ | <math> | ||
+ | t_2 | ||
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se define como el cociente: | se define como el cociente: | ||
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- | \frac{\mathrm{f} \left( \, | + | \frac{\mathrm{f} \left( \, t_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, t_1 \, |
- | \right)}{ | + | \right)}{t_2 \, - \, t_1} |
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- | La '''''tasa de variación instantánea''''' de la función | + | La '''''tasa de variación instantánea''''' de la función |
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- | f | + | \mathrm{f} |
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- | + | en el instante | |
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- | x \, = \, | + | x \, = \, t_1 |
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se obtiene haciendo tender | se obtiene haciendo tender | ||
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- | + | t_2 | |
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a | a | ||
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- | + | t_1 | |
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- | en la | + | en la tasa de variación media de la función |
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- | f | + | \mathrm{f} |
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- | + | en el periodo | |
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\left[ | \left[ | ||
- | \, | + | \, t_1, \, t_2 \, |
- | \right] | + | \right]. |
- | </math> | + | </math>. Por tanto, la tasa de variación instantánea de la función |
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- | f | + | \mathrm{f} |
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- | + | en el instante | |
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- | x \, = \, | + | x \, = \, t_1 |
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es | es | ||
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- | \lim_{h \to 0}\frac{\mathrm{f}\left( \, | + | \lim_{h \to 0}\frac{\mathrm{f}\left( \, t_1 \, + \, h \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, t_1 \, \right)}{h} |
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Línea 132: | Línea 134: | ||
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- | que es precisamente la [[Definición de derivada|derivada]] de la función | + | que es precisamente la [[Definición de derivada|derivada]] de la función |
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- | f | + | \mathrm{f} |
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- | | + | en el instante |
+ | <math> | ||
+ | x \, = \, t_1 | ||
+ | </math>. | ||
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+ | NOTA: En el límite anterior | ||
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- | + | t_2 \, = \, t_1 \, + \, h | |
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Revisión actual
Tasa de variación media
Supongamos que un coche de fórmula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la siguiente tabla:
En este caso, la posición, , se puede ver como una función, , del tiempo, ; es decir:
La tasa de variación media de la posición en el intervalo de tiempo desde el instante al instante es:
En general, la tasa de variación media de la función en el periodo que va desde el instante hasta el instante se define como el cociente:
Tasa de variación instantánea
La tasa de variación instantánea de la función en el instante se obtiene haciendo tender a en la tasa de variación media de la función en el periodo . Por tanto, la tasa de variación instantánea de la función en el instante es
que es precisamente la derivada de la función en el instante .
NOTA: En el límite anterior .