Sistemas de generadores y bases de un espacio vectorial
De Wikillerato
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==Sistema generador== | ==Sistema generador== | ||
Un '''''sistema generador''''' de un espacio vectorial es un conjunto de vectores que | Un '''''sistema generador''''' de un espacio vectorial es un conjunto de vectores que | ||
- | tienen la propiedad que cualquier vector del espacio vectorial es combinación de los | + | tienen la propiedad de que cualquier vector del espacio vectorial es combinación lineal |
- | vectores del sistema generador. | + | de los vectores del sistema generador. |
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se puede poner como combinación lineal de | se puede poner como combinación lineal de | ||
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- | \vec{\mathbf{v}}_1 | + | \vec{\mathbf{v}}_1 ~ |
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y | y | ||
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- | \vec{\mathbf{v}}_2 | + | \vec{\mathbf{v}}_2 ~ |
- | </math> | + | </math>: |
- | : | + | |
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- | Una '''''base''''' de un espacio vectorial es un | + | Una '''''base''''' de un espacio vectorial es un sistema generador, cuyos vectores son |
- | independientes | + | linealmente independientes. |
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Todo espacio vectorial tiene, al menos, una base, y cualquier vector se puede expresar de | Todo espacio vectorial tiene, al menos, una base, y cualquier vector se puede expresar de | ||
- | forma única como | + | forma única como combinación lineal de los vectores de la base. |
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\vec{\mathbf{v}} | \vec{\mathbf{v}} | ||
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- | , | + | , éste se puede escribir de la siguiente forma: |
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- | + | ||
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\vec{\mathbf{v}} = \alpha_1 \cdot \vec{\mathbf{u}}_1 \, + \, \alpha_2 \cdot | \vec{\mathbf{v}} = \alpha_1 \cdot \vec{\mathbf{u}}_1 \, + \, \alpha_2 \cdot | ||
- | \vec{\mathbf{u}}_2 \, + \, \ldots \, + \, | + | \vec{\mathbf{u}}_2 \, + \, \ldots \, + \, \alpha_n \cdot \vec{\mathbf{u}}_n |
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\vec{\mathbf{v}} = | \vec{\mathbf{v}} = |
Revisión actual
Tabla de contenidos |
Sistema generador
Un sistema generador de un espacio vectorial es un conjunto de vectores que tienen la propiedad de que cualquier vector del espacio vectorial es combinación lineal de los vectores del sistema generador.
Ejemplo
En , los vectores
forman un sistema generador ya que cualquier vector en se puede poner como combinación lineal de y :
Base
Una base de un espacio vectorial es un sistema generador, cuyos vectores son linealmente independientes.
Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo número de vectores y ese número se llama dimensión del espacio vectorial.
Todo espacio vectorial tiene, al menos, una base, y cualquier vector se puede expresar de forma única como combinación lineal de los vectores de la base.
Dada una base
y un vector , éste se puede escribir de la siguiente forma:
Los numeros reciben el nombre de coordenadas del vector en la base .
Ejemplo
El vector expresado en la base , siendo y , es:
de donde:
Las coordenadas del vector en la base son -2 y 6.
En cualquier conjunto de 2 vectores linealmente independientes forman una base. En cualquier conjunto de 3 vectores linealmente independientes forman una base.