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Matriz transpuesta

De Wikillerato

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m (Revertidas las ediciones realizadas por 201.144.51.41 (Talk); a la última edición de Jaimecarrion)
 
(79 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 1: Línea 1:
-
 
-
==Definición de matriz==
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Una matriz es un cuadrado o tabla de numeros ordenados. Se llama matriz de dimension
 
-
&nbsp;
 
-
<math>
 
-
m \times n
 
-
</math>
 
-
&nbsp; a un conjunto de números reales dispuestos en &nbsp;
 
-
<math>
 
-
m
 
-
</math>
 
-
&nbsp; filas y &nbsp;
 
-
<math>
 
-
n
 
-
</math>
 
-
&nbsp; columnas de la siguiente forma &nbsp;
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{cccc}
 
-
a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n}
 
-
\\
 
-
a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n}
 
-
\\
 
-
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
 
-
\\
 
-
a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn}
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
La matriz &nbsp;
 
-
<math>
 
-
A
 
-
</math>
 
-
&nbsp; se puede designar tambien como &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\quad A = \left( a_{ij} \right) \quad
 
-
</math>
 
-
&nbsp; donde
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left\{
 
-
\begin{array}[c]{l}
 
-
i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m
 
-
\\
 
-
j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n
 
-
\end{array}
 
-
\right.
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Un elemento generico de la matriz se designa por &nbsp;
 
-
<math>
 
-
a_{ij}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; en el cual el subindice &nbsp;
 
-
<math>
 
-
i
 
-
</math>
 
-
&nbsp; representa el numero de fila que ocupa el elemento y el subindice &nbsp;
 
-
<math>
 
-
j
 
-
</math>
 
-
&nbsp; el numero de columna.
 
-
 
-
El conjunto de matrices de dimension &nbsp;
 
-
<math>
 
-
m \times n
 
-
</math>
 
-
&nbsp; se denota por:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
M_{m \times n}
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
El conjunto de matrices de dimension &nbsp;
 
-
<math>
 
-
n \times n
 
-
</math>
 
-
, &nbsp; tambien llamadas de orden &nbsp;
 
-
<math>
 
-
n
 
-
</math>
 
-
, &nbsp; se denota por:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
M_n
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos:
 
-
 
-
* la diagonal principal formada por los elementos de la forma &nbsp;
 
-
<math>
 
-
a_{ii}
 
-
</math>
 
-
&nbsp;
 
-
 
-
*la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma &nbsp;
 
-
<math>
 
-
a_{ij}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; tales que &nbsp;
 
-
<math>
 
-
i + j = n + 1
 
-
</math>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
[[Image:diagonales2.gif]]
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Una '''''matriz rectangular''''' es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas
 
-
&nbsp;
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
m \neq n
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
.
 
-
 
-
====Ejemplo de matriz rectangular====
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{ccc}
 
-
1 & -1 & ~~0
 
-
\\
 
-
2 & ~~3 & -1
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
'''''Matriz fila''''' es toda matriz rectangular con una sola fila de dimension &nbsp;
 
-
<math>
 
-
1 \times n
 
-
</math>
 
-
.
 
-
 
-
====Ejemplo de matriz fila====
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{ccc}
 
-
-1 & 3 & 5
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
'''''Matriz columna''''' es toda matriz rectangular con una sola columna de dimension &nbsp;
 
-
<math>
 
-
m \times 1
 
-
</math>
 
-
.
 
-
 
-
====Ejemplo de matriz columna====
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{c}
 
-
-1
 
-
\\
 
-
~~3
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Una '''''matriz nula''''' es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota
 
-
por &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathbf{0}
 
-
</math>
 
-
.
 
-
 
-
====Ejemplo de matriz nula====
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{ccc}
 
-
0 & 0 & 0
 
-
\\
 
-
0 & 0 & 0
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
'''''Matriz triangular superior''''' es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
 
-
situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
 
-
 
-
====Ejemplo de matriz triangular superior====
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{ccc}
 
-
1 & -1 & ~~0
 
-
\\
 
-
0 & ~~3 & -1
 
-
\\
 
-
0 & ~~0 & ~~2
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
'''''Matriz triangular inferior''''' es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
 
-
situados por encima de la diagonal principal son ceros.
 
-
 
-
====Ejemplo de matriz triangular inferior====
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{ccc}
 
-
2 & ~~0 & 0
 
-
\\
 
-
3 & -1 & 0
 
-
\\
 
-
1 & -1 & 3
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
'''''Matriz diagonal''''' es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
 
-
no situados en la diagonal principal son ceros.
 
-
 
-
====Ejemplo de matriz diagonal====
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{ccc}
 
-
~~2 & ~~0 & ~~0
 
-
\\
 
-
~~0 & -1 & ~~0
 
-
\\
 
-
~~0 & ~~0 & ~~3
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
'''''Matriz escalar''''' es toda matriz diagonal en la que todos los terminos
 
-
de la diagonal principal son iguales.
 
-
 
-
====Ejemplo de matriz escalar====
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{ccc}
 
-
2 & {0} & {0}
 
-
\\
 
-
{0} & 2 & {0}
 
-
\\
 
-
{0} & {0} & 2
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
'''''Matriz unidad o identidad''''' es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son
 
-
todos 1.
 
-
 
-
====Ejemplo de matriz unidad====
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{ccc}
 
-
1 & {0} & {0}
 
-
\\
 
-
{0} & 1 & {0}
 
-
\\
 
-
{0} & {0} & 1
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
[[Category:Matemáticas]]
 
-
 
-
%% }}}
 
-
%% {{{ =Operaciones elementales con matrices
 
-
 
-
==Suma de matrices==
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Para dos matrices &nbsp;
 
-
<math>
 
-
A = \left( a_{ij} \right)
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y &nbsp;
 
-
<math>
 
-
B = \left( b_{ij} \right)
 
-
</math>
 
-
&nbsp; de la misma dimension &nbsp;
 
-
<math>
 
-
m \times n
 
-
</math>
 
-
, &nbsp; la suma de &nbsp;
 
-
<math>
 
-
A
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y &nbsp;
 
-
<math>
 
-
B
 
-
</math>
 
-
&nbsp; es la matriz de la misma dimension &nbsp;
 
-
<math>
 
-
m \times n
 
-
</math>
 
-
, &nbsp; dada por
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
A + B = \left( a_{ij} \right) + \left( b_{ij} \right) = \left( a_{ij} + b_{ij} \right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
====Ejemplo====
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
A + B =
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{ccc}
 
-
a_{11 }& a_{12} & a_{13}
 
-
\\
 
-
a_{21 }& a_{22} & a_{23}
 
-
\\
 
-
a_{31 }& a_{32} & a_{33}
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
+
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{ccc}
 
-
b_{11 }& b_{12} & b_{13}
 
-
\\
 
-
b_{21 }& b_{22} & b_{23}
 
-
\\
 
-
b_{31 }& b_{32} & b_{33}
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
=
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{ccc}
 
-
a_{11 } + b_{11 } & a_{12} + b_{12} & a_{13} + b_{13}
 
-
\\
 
-
a_{21 } + b_{21 } & a_{22} + b_{22} & a_{23} + b_{23}
 
-
\\
 
-
a_{31 } + b_{31 } & a_{32} + b_{32} & a_{33} + b_{33}
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
===Propiedades de la suma de matrices===
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
1. Asociativa
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
A +
 
-
\left(
 
-
B + C
 
-
\right)
 
-
=
 
-
\left(
 
-
A + B
 
-
\right)
 
-
+ C
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
2. Elemento neutro. La matriz nula, &nbsp;
 
-
<math>
 
-
0,
 
-
</math>
 
-
&nbsp; de la dimension correspondiente es el elemento neutro para la suma, ya que:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
A + 0 = 0 + A = A
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
3. Elemento opuesto. Para la matriz &nbsp;
 
-
<math>
 
-
A
 
-
</math>
 
-
&nbsp;
 
-
existe otra matriz que denotamos por &nbsp;
 
-
<math>
 
-
-A
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y que llamamos matriz opuesta de &nbsp;
 
-
<math>
 
-
A,
 
-
</math>
 
-
&nbsp; que cumple:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
A +
 
-
\left(
 
-
-A
 
-
\right)
 
-
= 0
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
4. Comutativa
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
A + B = B + A
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
==Producto de un numero por una matriz==
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Para un número real &nbsp;
 
-
<math>
 
-
k
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y una matriz &nbsp;
 
-
<math>
 
-
A = \left( a_{ij} \right)}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; de dimension &nbsp;
 
-
<math>
 
-
m \times n
 
-
</math>
 
-
, &nbsp; el producto de un número real por una matriz es la matriz de la misma dimension
 
-
&nbsp;
 
-
<math>
 
-
m \times n
 
-
</math>
 
-
&nbsp; dada por
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
k \cdot A = k \cdot \left( a_{ij} \right) = \left( k \cdot a_{ij} \right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Es decir, el producto &nbsp;
 
-
<math>
 
-
k \cdot A
 
-
</math>
 
-
&nbsp; se obtiene multiplicando el numero real por cada uno de los elementos de la
 
-
matriz.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
====Ejemplo====
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
k \cdot A = k \cdot
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{cc}
 
-
a_{11 }& a_{12}
 
-
\\
 
-
a_{21 }& a_{22}
 
-
\\
 
-
a_{31 }& a_{32}
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
=
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{cc}
 
-
k \cdot a_{11 }& k \cdot a_{12}
 
-
\\
 
-
k \cdot a_{21 }& k \cdot a_{22}
 
-
\\
 
-
k \cdot a_{31 }& k \cdot a_{32}
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
==Producto de matrices==
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
El producto de dos matrices &nbsp;
 
-
<math>
 
-
A = \left( a_{ij} \right)
 
-
</math>
 
-
&nbsp; de dimension &nbsp;
 
-
<math>
 
-
m \times n
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y &nbsp;
 
-
<math>
 
-
B = \left( b_{ij} \right)
 
-
</math>
 
-
&nbsp; de dimension &nbsp;
 
-
<math>
 
-
n \times p
 
-
</math>
 
-
, &nbsp; es la matriz &nbsp;
 
-
<math>
 
-
A \cdot B
 
-
</math>
 
-
&nbsp; dada por:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
A \cdot B = \left( c_{ij} \right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
con
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
c_{ij} = \sum_{j = 1}^n a_{ij} \cdot b_{jk}
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Es decir, cada elemento &nbsp;
 
-
<math>
 
-
c_{ik}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; se obtiene multiplicando la fila i-ésima de la primera matriz por la columna
 
-
k-ésima de la segunda matriz.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
====Ejemplo====
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{ccc}
 
-
1 & 2 & 3
 
-
\\
 
-
4 & 5 & 6
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
\cdot
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{cc}
 
-
~~7 & ~~8
 
-
\\
 
-
~~9 & ~~0
 
-
\\
 
-
-1 & -2
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
=
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{cc}
 
-
1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot \left( -1 \right) & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot \left( -2 \right)
 
-
\\
 
-
4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot \left( -1 \right) & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot \left( -2 \right)
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
===Propiedades del producto de matrices===
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
1. El producto de matrices cuadradas es asociativo:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
A \cdot
 
-
\left(
 
-
B \cdot C
 
-
\right)
 
-
=
 
-
\left(
 
-
A \cdot B
 
-
\right)
 
-
\cdot C
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
2. El producto de matrices cuadradas de orden &nbsp;
 
-
<math>
 
-
n
 
-
</math>
 
-
&nbsp; posee como elemento neutro la matriz unidad o identidad &nbsp;
 
-
<math>
 
-
I
 
-
</math>
 
-
&nbsp; de orden &nbsp;
 
-
<math>
 
-
n
 
-
</math>
 
-
&nbsp; ya que:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
A \cdot I = I \cdot A = A
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
3. El producto de matrices cuadradas es distributivo respecto de la suma de matrices:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
A \cdot
 
-
\left(
 
-
B + C
 
-
\right)
 
-
= A \cdot B + A \cdot C
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
[[Category:Matemáticas]]
 
-
%% }}}
 
-
%% {{{ =Matriz transpuesta
 
-
 
==Definición==
==Definición==
<br/>
<br/>
-
Se llama matriz traspuesta de una matriz &nbsp;
+
Se llama '''matriz traspuesta''' de una [[¿Qué es una matriz?|matriz]] &nbsp;
<math>
<math>
A
A
</math>
</math>
-
&nbsp; de dimension &nbsp;
+
&nbsp; de dimensión &nbsp;
<math>
<math>
m \times n
m \times n
Línea 774: Línea 19:
A^t
A^t
</math>
</math>
-
&nbsp; y su dimension es &nbsp;
+
&nbsp; y su dimensión es &nbsp;
<math>
<math>
n \times m
n \times m
</math>
</math>
-
<br/>
+
 
==Propiedades==
==Propiedades==
Línea 805: Línea 50:
<br/>
<br/>
-
==Matriz simetrica==
+
==Matriz simétrica==
<br/>
<br/>
-
Se llama matriz simetrica a toda matriz cuadrada &nbsp;
+
Se llama matriz simétrica a toda matriz cuadrada &nbsp;
<math>
<math>
A
A
Línea 817: Línea 62:
A = A^t
A = A^t
</math>.
</math>.
-
&nbsp; En una matriz simetrica cualquier par de elementos simetricos respecto a la
+
&nbsp; En una matriz simétrica cualquier par de elementos simétricos respecto a la
diagonal principal son iguales.
diagonal principal son iguales.
Línea 832: Línea 77:
1 & 2 & 3
1 & 2 & 3
\\
\\
-
2 & 4 & 5
+
2 & 5 & 4
\\
\\
-
3 & 5 & 7
+
3 & 4 & 6
\end{array}
\end{array}
\right)
\right)
Línea 842: Línea 87:
<br/>
<br/>
-
==Matriz antisimetrica==
+
==Matriz antisimétrica==
<br/>
<br/>
-
Se llama matriz antisimetrica a toda matriz cuadrada &nbsp;
+
Se llama matriz antisimétrica a toda matriz cuadrada &nbsp;
<math>
<math>
A
A
Línea 854: Línea 99:
A = -A^t
A = -A^t
</math>.
</math>.
-
&nbsp; En una matriz simetrica cualquier par de elementos simetricos respecto a la
+
&nbsp; En una matriz simetrica cualquier par de elementos simétricos respecto a la
diagonal principal son opuestos.
diagonal principal son opuestos.
Línea 880: Línea 125:
[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]
-
 
-
%% }}}
 
-
%% {{{ =Matriz inversa
 
-
 
-
__TOC__
 
-
 
-
==Definición==
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
La matriz inversa de una matriz cuadrada &nbsp;
 
-
<math>
 
-
A
 
-
</math>
 
-
&nbsp; de orden &nbsp;
 
-
<math>
 
-
n,
 
-
</math>
 
-
&nbsp; es la matriz, &nbsp;
 
-
<math>
 
-
A^{-1}
 
-
</math>
 
-
, &nbsp; de orden &nbsp;
 
-
<math>
 
-
n
 
-
</math>
 
-
&nbsp; que verifica:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
donde &nbsp;
 
-
<math>
 
-
I
 
-
</math>
 
-
&nbsp; es la matriz identidad de orden &nbsp;
 
-
<math>
 
-
n
 
-
</math>
 
-
.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices
 
-
singulares.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
1. &nbsp; Si existe,
 
-
&nbsp; <math>
 
-
A^{-1}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; es única.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
2. &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
A^{-1}
 
-
\right)
 
-
^{-1} = A
 
-
</math>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
3. &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
A \cdot B
 
-
\right)
 
-
^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}
 
-
</math>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
==Cálculo de la matriz inversa==
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
===Mediante la definicion===
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
====Ejemplo====
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
A =
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{cc}
 
-
1 & 2
 
-
\\
 
-
3 & 7
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
hacemos
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
A^{-1} =
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{cc}
 
-
a & b
 
-
\\
 
-
c & d
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
como
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
I = A \cdot A^{-1} \Rightarrow
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{cc}
 
-
1 & 2
 
-
\\
 
-
3 & 7
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
\cdot
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{cc}
 
-
a & b
 
-
\\
 
-
c & d
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
=
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{cc}
 
-
1 & 0
 
-
\\
 
-
0 & 1
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Operando:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{cc}
 
-
a + 2c & b + 2d
 
-
\\
 
-
3a + 7c & 3b + 7d
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
=
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{cc}
 
-
1 & 0
 
-
\\
 
-
0 & 1
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
\Leftrightarrow
 
-
\left\{
 
-
\begin{array}[c]{ccc}
 
-
a + 2c & = & 1
 
-
\\
 
-
3a + 7c & = & 0
 
-
\\
 
-
b + 2d & = & 0
 
-
\\
 
-
3b + 7d & = & 1
 
-
\\
 
-
\end{array}
 
-
\right.
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\Rightarrow \left\{
 
-
\begin{array}[c]{ccc}
 
-
a & = & 7
 
-
\\
 
-
b & = & -2
 
-
\\
 
-
c & = & -3
 
-
\\
 
-
d & = & 1
 
-
\\
 
-
\end{array}
 
-
\right.
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
===Método de Gauss-Jordan===
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
La inversa de una matriz regular &nbsp;
 
-
<math>
 
-
A
 
-
</math>
 
-
&nbsp; se calcular transformando la matriz &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\, A \, \left| \, I \, \right.
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
&nbsp; mediante operaciones elementales por filas en la matriz &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\, I \, \left| \, A^{-1} \, \right.
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
====Operaciones elementales por filas en una matriz====
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
1. Intercambiar las filas &nbsp;
 
-
<math>
 
-
i
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y &nbsp;
 
-
<math>
 
-
j,
 
-
</math>
 
-
&nbsp; que designaremos por &nbsp;
 
-
<math>
 
-
F_i \longrightarrow F_j
 
-
</math>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
2. Multiplicar la fila &nbsp;
 
-
<math>
 
-
i
 
-
</math>
 
-
&nbsp; por el numero &nbsp;
 
-
<math>
 
-
k \neq 0
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y sustituirla por el resultado; lo designamos por &nbsp;
 
-
<math>
 
-
F_i \to k \cdot F_i
 
-
</math>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
3. Multiplicar la fila &nbsp;
 
-
<math>
 
-
i
 
-
</math>
 
-
&nbsp; por el numero &nbsp;
 
-
<math>
 
-
k \neq 0
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y sustituirla por el resultado; lo designamos por &nbsp;
 
-
<math>
 
-
F_i \to k \cdot F_i
 
-
</math>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
4. Sumar las filas &nbsp;
 
-
<math>
 
-
i
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y &nbsp;
 
-
<math>
 
-
j,
 
-
</math>
 
-
&nbsp;, multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila &nbsp;
 
-
<math>
 
-
i
 
-
</math>
 
-
&nbsp; o &nbsp;
 
-
<math>
 
-
j
 
-
</math>
 
-
&nbsp;. Lo designamos por &nbsp;
 
-
<math>
 
-
F_i
 
-
</math>
 
-
&nbsp; o &nbsp;
 
-
<math>
 
-
F_j \to k \cdot F_i + t \cdot F_j
 
-
</math>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
[[Category:Matemáticas]]
 
-
 
-
%% }}}
 
-
%% {{{ =Rango de una matriz
 
-
 
-
En la matriz
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{cccc}
 
-
a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n}
 
-
\\
 
-
a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n}
 
-
\\
 
-
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
 
-
\\
 
-
a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn}
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Se dice que las filas &nbsp;
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
F_i, \, F_j, \, F_k, \, \ldots, \, F_t
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\, F_i =
 
-
\left(
 
-
\, a_{i1 }, \, a_{i2}, \, \ldots, \, a_{in} \,
 
-
\right)
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
son dependientes si existen números &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\alpha_j, \, \alpha_k, \, \ldots, \, \alpha_t \in R
 
-
</math>
 
-
&nbsp; tales que
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
F_i = \alpha_j \cdot F_j + \alpha_k \cdot F_k + \, \ldots \, + \alpha_t \cdot F_t
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
En caso contrario, se dice que las filas &nbsp;
 
-
<math>
 
-
F_i, \, F_j, \, F_k, \, \ldots, \, F_t
 
-
</math>
 
-
&nbsp; son linealmente independientes.
 
-
 
-
El '''rango''' de una matriz es el número de filas o de columnas linealmente independientes
 
-
que tiene esa matriz.
 

Revisión actual

Tabla de contenidos

Definición


Se llama matriz traspuesta de una matriz   A   de dimensión   m \times n ,   a la matriz que se obtiene al cambiar en   A   las filas por columnas o las columnas por filas. Se representa por   A^t   y su dimensión es   n \times m


Propiedades


  • \left( \, A^t \, \right)^t = A

    • \left( \, A + B \, \right)^t = A^t + B^t  

      • \left( \, k \cdot A \, \right)^t = k \cdot A^t  

        • \left( \, A \cdot B \, \right)^t = B^t \cdot A^t


          Matriz simétrica


          Se llama matriz simétrica a toda matriz cuadrada   A   que coincide con su transpuesta:   A = A^t .   En una matriz simétrica cualquier par de elementos simétricos respecto a la diagonal principal son iguales.


          Ejemplo


          \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 4 \\ 3 & 4 & 6 \end{array} </pre> <p>\right)


          Matriz antisimétrica


          Se llama matriz antisimétrica a toda matriz cuadrada   A   que coincide con la opuesta de su transpuesta:   A = -A^t .   En una matriz simetrica cualquier par de elementos simétricos respecto a la diagonal principal son opuestos.


          Ejemplo


          \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{ccc} ~~ 0 & ~~2 & -3 \\ -2 & ~~0 & ~~5 \\ ~~ 3 & -5 & ~~0 \end{array} </pre> <p>\right)


          Obtenido de "http://www.wikillerato.org/Matriz_transpuesta.html"
             
 
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