Ángulo entre dos rectas
De Wikillerato
(→Ángulo entre dos rectas) |
|||
(13 ediciones intermedias no se muestran.) | |||
Línea 1: | Línea 1: | ||
- | |||
==Ángulo entre dos rectas== | ==Ángulo entre dos rectas== | ||
Línea 20: | Línea 19: | ||
s | s | ||
</math> | </math> | ||
- | en un mismo plano paralelo a | + | en un mismo plano paralelo a ambas rectas. |
- | Las | + | Las rectas se proyectan en un mismo plano porque, en general, |
- | + | no tienen porque encontrarse en un mismo plano ( no tienen porque ser | |
- | + | coplanarias ). | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | no tienen porque encontrarse en un mismo plano. | + | |
<br/> | <br/> | ||
Línea 36: | Línea 29: | ||
<math> | <math> | ||
\alpha | \alpha | ||
- | </math> | + | </math>, |
- | y otro mayor, que seria el suplementario de | + | y otro mayor ( o igual ), que seria el suplementario de |
<math> | <math> | ||
\alpha | \alpha | ||
- | </math>, | + | </math>, |
<math> | <math> | ||
180 - \alpha | 180 - \alpha | ||
Línea 68: | Línea 61: | ||
<math> | <math> | ||
\mathbf{v} | \mathbf{v} | ||
- | </math> | + | </math>, |
se puede calcular con la siguiente fórmula: | se puede calcular con la siguiente fórmula: | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \cos \left( \, \widehat{r,s} \, | + | \cos \left( \, \widehat{r,s} \, \right) = \frac{\left| \, \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right| \cdot \left| \, \mathbf{v} \, \right|}} |
- | + | ||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
- | Calculando el | + | Calculando el arcocoseno del resultado obtenido aplicando la fórmula anterior se |
obtiene el ángulo que forman las retas | obtiene el ángulo que forman las retas | ||
<math> | <math> | ||
Línea 85: | Línea 77: | ||
s | s | ||
</math>. | </math>. | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | ==Ejemplo== | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | Calculemos el ángulo entre las rectas de ecuaciones | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | r: | ||
+ | \left\{ | ||
+ | \begin{array}{ll} | ||
+ | 0 = & x - 2y + 3z | ||
+ | \\ | ||
+ | 0 = & 2x - y + 4 | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right. | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | y | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | s: \left( \, x, \, y, \, z \, \right) = \left( \, 3, \, 2, \, -5 \, \right) + t | ||
+ | \cdot \left( \, 1, \, -1, \, 2 \, \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | La recta | ||
+ | <math> | ||
+ | r | ||
+ | </math> | ||
+ | viene dada como la intersección de dos planos ( el plano | ||
+ | <math> | ||
+ | \pi_1 | ||
+ | </math> | ||
+ | de ecuación | ||
+ | <math> | ||
+ | 0 = x - 2y + 3z | ||
+ | </math> | ||
+ | y el plano | ||
+ | <math> | ||
+ | \pi_2 | ||
+ | </math> | ||
+ | de ecuación | ||
+ | <math> | ||
+ | 0 = 2x - y + 4 | ||
+ | </math> | ||
+ | ). | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | Un vector director | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathbf{u} | ||
+ | </math> | ||
+ | de la recta | ||
+ | <math> | ||
+ | s | ||
+ | </math> | ||
+ | es el vector que multiplica al parametro | ||
+ | <math> | ||
+ | t | ||
+ | </math> | ||
+ | en su ecuación, es decir: | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathbf{u} = \left( \, 1, \, -1, \, 2 \, \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | Podemos obtener un vector director | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathbf{v} | ||
+ | </math> | ||
+ | de la recta | ||
+ | <math> | ||
+ | r | ||
+ | </math> | ||
+ | multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano | ||
+ | <math> | ||
+ | \pi_1 | ||
+ | </math> | ||
+ | por un vector perpendicular al plano | ||
+ | <math> | ||
+ | \pi_2 | ||
+ | </math>. | ||
+ | |||
+ | Un vector | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathbf{n}_1 | ||
+ | </math> | ||
+ | perpendicular al plano | ||
+ | <math> | ||
+ | \pi_1 | ||
+ | </math> | ||
+ | lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación del plano | ||
+ | <math> | ||
+ | \pi_1 | ||
+ | </math>: | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathbf{n}_1 = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | De la misma forma obtenemos un vector | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathbf{n}_2 | ||
+ | </math> | ||
+ | perpendicular al plano | ||
+ | <math> | ||
+ | \pi_2 | ||
+ | </math>: | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathbf{n}_2 = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | El producto vectorial de ambos vectores, | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathbf{n}_1 | ||
+ | </math> | ||
+ | y | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathbf{n}_2 | ||
+ | </math> | ||
+ | es | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathbf{v} = | ||
+ | \left| | ||
+ | \begin{array}{ccc} | ||
+ | \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} | ||
+ | \\ | ||
+ | 1 & -2 & 3 | ||
+ | \\ | ||
+ | 2 & -1 & 0 | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right| = \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | El ángulo que forman las rectas | ||
+ | <math> | ||
+ | r | ||
+ | </math> | ||
+ | y | ||
+ | <math> | ||
+ | s | ||
+ | </math> | ||
+ | es, por tanto | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathrm{arc} \cos \frac{\left| \, \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right| | ||
+ | \cdot \left| \, \mathbf{v} \, \right|} = \mathrm{arc} \cos \frac{\left| \, \left( \, | ||
+ | 1, \, -1, \, 2 \, \right) \cdot \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right) \, | ||
+ | \right|}{\sqrt{1^2 + \left( \, -1 \, \right)^2 + 2^2} \cdot \sqrt{3^2 + 6^2 + | ||
+ | 3^2}} = \mathrm{arc} \cos \frac{1}{6} | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
[[Category:Matemáticas]] | [[Category:Matemáticas]] |
Revisión actual
Ángulo entre dos rectas
El ángulo entre dos rectas y del espacio es el menor angulo entre las rectas que se obtienen al proyectar y en un mismo plano paralelo a ambas rectas. Las rectas se proyectan en un mismo plano porque, en general, no tienen porque encontrarse en un mismo plano ( no tienen porque ser coplanarias ).
Dos rectas en el plano forman dos angulos, uno menor, llamemoslos, por ejemplo, , y otro mayor ( o igual ), que seria el suplementario de , .
El ángulo entre dos rectas y cuyos vectores directores son, respectivamente, y , se puede calcular con la siguiente fórmula:
Calculando el arcocoseno del resultado obtenido aplicando la fórmula anterior se obtiene el ángulo que forman las retas y .
Ejemplo
Calculemos el ángulo entre las rectas de ecuaciones
y
La recta viene dada como la intersección de dos planos ( el plano de ecuación y el plano de ecuación ).
Un vector director de la recta es el vector que multiplica al parametro en su ecuación, es decir:
Podemos obtener un vector director de la recta multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano por un vector perpendicular al plano .
Un vector perpendicular al plano lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación del plano :
De la misma forma obtenemos un vector perpendicular al plano :
El producto vectorial de ambos vectores, y es
El ángulo que forman las rectas y es, por tanto