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¿Qué es una matriz?

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
(Ejemplo de matriz triangular superior)
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'''''Matriz triangular inferior''''' es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
+
'''''Matriz triangularvera joto inferior''''' es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
situados por encima de la diagonal principal son ceros.
situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Revisión de 18:54 6 sep 2007

Tabla de contenidos


Definición de matriz


Una matriz es un cuadrado o tabla de numeros ordenados. Se llama matriz de dimension   
m \times n 
  a un conjunto de números reales dispuestos en   
m
  filas y   
n
  columnas de la siguiente forma  



\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cccc}
   a_{11 }& a_{12} & \ldots &  a_{1n}
   \\
   a_{21 }& a_{22} & \ldots &  a_{2n}
   \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
   \\
   a_{m1 }& a_{m2} & \ldots &  a_{mn}
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


La matriz   
A 
  se puede denotar tambien como   
\quad A = \left( a_{ij} \right) \quad
  donde



\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{l}
   i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m
   \\
   j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n
 \end{array}
</pre>
<p>\right.



a_{ij}
designa un elemento generico de la matriz   
A
,   el elemento que se encuentra en la i-esima fila y j-esima columna.


El conjunto de matrices de dimension   
m \times n
  se denota por:



M_{m \times n}


El conjunto de matrices de dimension   
n \times n
,   tambien llamadas de orden   
n
,   se denota por:



M_n


Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos:

  • la diagonal principal formada por los elementos de la forma  


a_{ii}
 

  • la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma  


a_{ij}
  tales que   
i + j = n + 1


Image:diagonales.gif


Una matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas   
\left(
</p>
<pre> m \neq n
</pre>
<p>\right)
.

Ejemplo de matriz rectangular



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     1 & -1 & ~~0
     \\
     2 & ~~3 & -1
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz fila es toda matriz rectangular con una sola fila de dimension   
1 \times n
.

Ejemplo de matriz fila



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     -1 & 3 & 5 
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz columna es toda matriz rectangular con una sola columna de dimension   
m \times 1
.

Ejemplo de matriz columna



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{c}
     -1 
     \\
     ~~3
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Una matriz nula es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota por   
\mathbf{0}
.

Ejemplo de matriz nula



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     0 & 0 & 0
     \\
     0 & 0 & 0
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz triangular superior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Ejemplo de matriz triangular superior



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     1 & -1 & ~~0
     \\
     0 & ~~3 & -1
     \\
     0  & ~~0 & ~~2
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz triangularvera joto inferior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Ejemplo de matriz triangular inferior



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     2 & ~~0 & 0 
     \\
     3 & -1 & 0
     \\
     1 & -1 & 3
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz diagonal es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos no situados en la diagonal principal son ceros.

Ejemplo de matriz diagonal



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     ~~2 & ~~0 & ~~0 
     \\
     ~~0 & -1 & ~~0
     \\
     ~~0 & ~~0 & ~~3
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz escalar es toda matriz diagonal en la que todos los terminos de la diagonal principal son iguales.

Ejemplo de matriz escalar



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     2 & {0} & {0} 
     \\
     {0} & 2 & {0}
     \\
     {0} & {0} & 2
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz unidad o identidad es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son todos 1.

Ejemplo de matriz unidad



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     1 & {0} & {0} 
     \\
     {0} & 1 & {0}
     \\
     {0} & {0} & 1
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


   
 
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