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¿Qué es una matriz?

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (11:22 16 oct 2012) (editar) (deshacer)
 
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Una matriz es un cuadrado o tabla de numeros ordenados. Se llama matriz de dimension
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==Definición de matriz==
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Es una tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse.
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Una matriz es un cuadrado o tabla de números ordenados. Se llama matriz de dimensión
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La matriz &nbsp;
La matriz &nbsp;
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A
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\mathbf{A}
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&nbsp; se puede designar tambien como &nbsp;
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&nbsp; se puede denotar también como &nbsp;
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\quad A = \left( a_{ij} \right) \quad
+
\quad \mathbf{A} = \left( a_{ij} \right) \quad
</math>
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&nbsp; donde
&nbsp; donde
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Un elemento generico de la matriz se designa por &nbsp;
 
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a_{ij}
a_{ij}
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</math> designa un elemento generico de la matriz &nbsp;
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&nbsp; en el cual el subindice &nbsp;
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i
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\mathbf{A}
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&nbsp; representa el numero de fila que ocupa el elemento y el subindice &nbsp;
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, &nbsp; el elemento que se encuentra en la i-esima fila y j-esima columna.
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==Tipos de matrices==
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===Matriz cuadrada===
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Las matrices cuadradas son aquellas que tienen el mismo número de filas que de
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columnas.
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En las matrices cuadradas tenemos:
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style = 'color:#00aa00'>
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la diagonal principal formada por los elementos de la forma &nbsp;
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&nbsp; el numero de columna.
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El conjunto de matrices de dimension &nbsp;
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style = 'color:#00aa00'>
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la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma &nbsp;
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m \times n
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a_{ij}
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&nbsp; tales que &nbsp;
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i + j = n + 1
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&nbsp; se denota por:
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Una '''''matriz rectangular''''' es aquella que tiene distinto número de filas
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que de columnas. Si una matriz NO es cuadrada tiene que ser rectangular.
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====Ejemplo====
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M_{m \times n}
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\left(
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\begin{array}[c]{ccc}
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1 & -1 & ~~0
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2 & ~~3 & -1
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El conjunto de matrices de dimension &nbsp;
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===Matrices filas===
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Una '''''matriz fila''''' es una matriz con una sola fila. Su dimensión es &nbsp;
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, &nbsp; tambien llamadas de orden &nbsp;
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===Matrices columna===
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dimensión es &nbsp;
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Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos:
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===Matrices nulas===
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* la diagonal principal formada por los elementos de la forma &nbsp;
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Una '''''matriz nula''''' es una matriz cuyos elementos son todos nulos. Se denota
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por &nbsp;
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a_{ii}
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\mathbf{0}_{m \times n}
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&nbsp;
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* la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma &nbsp;
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Donde &nbsp;
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a_{ij}
+
m \times n
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&nbsp; tales que &nbsp;
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&nbsp; es la dimensión de la matriz.
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i + j = n + 1
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\begin{array}[c]{ccc}
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0 & 0 & 0
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0 & 0 & 0
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===Matrices triangulares superiores===
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Una '''''matriz triangular superior''''' es una matriz cuadrada en la que todos los terminos
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situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
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====Ejemplo====
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-
\begin{array}[c]{cc}
 
\left(
\left(
-
\begin{array}[c]{cccc}
+
\begin{array}[c]{ccc}
-
\mathbf{a_{11}} & a_{12} & a_{13} & a_{14}
+
1 & -1 & ~~0
\\
\\
-
a_{21} & \mathbf{a_{22}} & a_{23} & a_{24}
+
0 & ~~3 & -1
\\
\\
-
a_{31} & a_{32} & \mathbf{a_{33}} & a_{34}
+
0 & ~~0 & ~~2
 +
\end{array}
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===Matrices triangulares inferiores===
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Una '''''matriz triangular inferior''''' es una matriz cuadrada en la que todos los terminos
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situados por encima de la diagonal principal son ceros.
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====Ejemplo ====
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\left(
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\begin{array}[c]{ccc}
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2 & ~~0 & 0
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\\
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3 & -1 & 0
\\
\\
-
a_{41} & a_{42} & a_{43} & \mathbf{a_{44}}
+
1 & -1 & 3
\end{array}
\end{array}
\right)
\right)
-
&
+
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===Matrices diagonales===
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Una '''''matriz diagonal''''' es una matriz cuadrada en la que todos los terminos
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NO situados en la diagonal principal son ceros.
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====Ejemplo====
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\left(
\left(
-
\begin{array}[c]{cccc}
+
\begin{array}[c]{ccc}
-
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \mathbf{a_{14}}
+
~~2 & ~~0 & ~~0
\\
\\
-
a_{21} & a_{22} & \mathbf{a_{23}} & a_{24}
+
~~0 & -1 & ~~0
\\
\\
-
a_{31} & \mathbf{a_{32}} & a_{33} & a_{34}
+
~~0 & ~~0 & ~~3
 +
\end{array}
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\right)
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===Matrices escalares===
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Una '''''matriz escalar''''' es una matriz diagonal en la que todos los términos de la diagonal principal son iguales.
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====Ejemplo====
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<br/>
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<center>
 +
<math>
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\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
2 & {0} & {0}
 +
\\
 +
{0} & 2 & {0}
\\
\\
-
\mathbf{a_{41}} & a_{42} & a_{43} & a_{44}
+
{0} & {0} & 2
\end{array}
\end{array}
\right)
\right)
-
\\
 
-
&
 
-
\\
 
-
\makebox{Diagonal principal} & \makebox{Diagonal secundaria}
 
-
\end{array}
 
</math>
</math>
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===Matrices unidad o identidad===
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Una '''''matriz unidad o identidad''''' es una matriz escalar cuyos elementos en la diagonal principal son
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todos 1.
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====Ejemplo====
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<br/>
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<center>
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<math>
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\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
1 & {0} & {0}
 +
\\
 +
{0} & 1 & {0}
 +
\\
 +
{0} & {0} & 1
 +
\end{array}
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\right)
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</math>
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</center>
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<br/>
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[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

Tabla de contenidos


Definición de matriz


Es una tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse.


Una matriz es un cuadrado o tabla de números ordenados. Se llama matriz de dimensión   
m \times n 
  a un conjunto de números reales dispuestos en   
m
  filas y   
n
  columnas de la siguiente forma  




\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cccc}
   a_{11 }& a_{12} & \ldots &  a_{1n}
   \\
   a_{21 }& a_{22} & \ldots &  a_{2n}
   \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
   \\
   a_{m1 }& a_{m2} & \ldots &  a_{mn}
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


La matriz   
\mathbf{A} 
  se puede denotar también como   
\quad \mathbf{A} = \left( a_{ij} \right) \quad
  donde



\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{l}
   i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m
   \\
   j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n
 \end{array}
</pre>
<p>\right.



a_{ij}
designa un elemento generico de la matriz   
\mathbf{A}
,   el elemento que se encuentra en la i-esima fila y j-esima columna.

Tipos de matrices


Matriz cuadrada


Las matrices cuadradas son aquellas que tienen el mismo número de filas que de columnas.


En las matrices cuadradas tenemos:


la diagonal principal formada por los elementos de la forma   
a_{ii}
 

la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma   
a_{ij}
  tales que   
i + j = n + 1


Image:diagonales.gif


Matrices rectangulares


Una matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas. Si una matriz NO es cuadrada tiene que ser rectangular.


Ejemplo



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     1 & -1 & ~~0
     \\
     2 & ~~3 & -1
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matrices filas


Una matriz fila es una matriz con una sola fila. Su dimensión es   
1 \times n
.


Ejemplo



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     -1 & 3 & 5 
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matrices columna


Una matriz columna es una matriz rectangular con una sola columna. Su dimensión es   
m \times 1
.


Ejemplo



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{c}
     -1 
     \\
     ~~3
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matrices nulas


Una matriz nula es una matriz cuyos elementos son todos nulos. Se denota por   
\mathbf{0}_{m \times n}
.


Donde   
m \times n
  es la dimensión de la matriz.


Ejemplo



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     0 & 0 & 0
     \\
     0 & 0 & 0
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matrices triangulares superiores


Una matriz triangular superior es una matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.


Ejemplo



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     1 & -1 & ~~0
     \\
     0 & ~~3 & -1
     \\
     0  & ~~0 & ~~2
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matrices triangulares inferiores


Una matriz triangular inferior es una matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por encima de la diagonal principal son ceros.


Ejemplo



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     2 & ~~0 & 0 
     \\
     3 & -1 & 0
     \\
     1 & -1 & 3
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matrices diagonales


Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en la que todos los terminos NO situados en la diagonal principal son ceros.


Ejemplo



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     ~~2 & ~~0 & ~~0 
     \\
     ~~0 & -1 & ~~0
     \\
     ~~0 & ~~0 & ~~3
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matrices escalares


Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que todos los términos de la diagonal principal son iguales.


Ejemplo



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     2 & {0} & {0} 
     \\
     {0} & 2 & {0}
     \\
     {0} & {0} & 2
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matrices unidad o identidad


Una matriz unidad o identidad es una matriz escalar cuyos elementos en la diagonal principal son todos 1.


Ejemplo



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     1 & {0} & {0} 
     \\
     {0} & 1 & {0}
     \\
     {0} & {0} & 1
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


   
 
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