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Problemas de distancias

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
(→Ejemplo)
(→Distancia entre un punto y una recta)
Línea 25: Línea 25:
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==Distancia entre un punto y una recta==
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WYPiXu <a href="http://bfkiineglono.com/">bfkiineglono</a>
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La distancia de un punto
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<math>
+
-
P
+
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</math>
+
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a una recta
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<math>
+
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r
+
-
</math>
+
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es la distancia entre
+
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<math>
+
-
P
+
-
</math>
+
-
y su proyeccion
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<math>
+
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P^\prime
+
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</math>
+
-
en la recta
+
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<math>
+
-
r
+
-
</math>.
+
-
 
+
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<br/>
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<center>
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[[Imagen:dcPnLi.png]]
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</center>
+
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===Ejemplo===
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<br/>
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Calculemos la distancia del punto &nbsp;
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<math>
+
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P = \left( \, 2, \, 1, \, 0 \, \right)
+
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</math>
+
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&nbsp; a la recta
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<math>
+
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r
+
-
</math>
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de ecuaciones
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<br/>
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<center>
+
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<math>
+
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r:
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\left\{
+
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\begin{array}{l}
+
-
0 = x - 2y + 3z
+
-
\\
+
-
0 = 2x - y + 4
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
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</math>
+
-
</center>
+
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<br/>
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Sea &nbsp;
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<math>
+
-
P^\prime = \left( \, x, \, y, \, z \, \right)
+
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</math>
+
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&nbsp; la proyección del punto
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<math>
+
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P
+
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</math>
+
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en la recta
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<math>
+
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r
+
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</math>.
+
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Queremos calcular la distancia de
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<math>
+
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P
+
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</math>
+
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a
+
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<math>
+
-
P^\prime
+
-
</math>
+
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y para ello necesitamos conocer
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<math>
+
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P^\prime
+
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</math>.
+
-
 
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<br/>
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Para hallar
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<math>
+
-
P^\prime
+
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</math>
+
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vamos a resolver un sistema de tres ecuaciones, dos de ellas son las de la recta
+
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<math>
+
-
r
+
-
</math>
+
-
y la otra ecuación procede de igualar a cero el producto escalar del vector
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\vec{PP^\prime} =
+
-
\left(
+
-
\, x, \, y, \, z \,
+
-
\right)
+
-
-
+
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\left(
+
-
\, 2, \, 1, \, 0 \,
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
por un vector director de la recta
+
-
<math>
+
-
r
+
-
</math>.
+
-
El producto escalar de ambos vectores es cero porque son perpendiculares (la recta que pasa por
+
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<math>
+
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P
+
-
</math>
+
-
y
+
-
<math>
+
-
P^\prime
+
-
</math>
+
-
es perpendicular a la recta
+
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<math>
+
-
r
+
-
</math>
+
-
).
+
-
 
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<br/>
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Podemos obtener un vector director
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<math>
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\mathbf{u}
+
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</math>
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de la recta
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<math>
+
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r
+
-
</math>
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-
[[Producto vectorial|multiplicando vectorialmente]] un vector perpendicular al plano
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<math>
+
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\pi_1
+
-
</math>
+
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por un vector perpendicular al plano
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<math>
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\pi_2
+
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</math>.
+
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Un vector
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<math>
+
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\mathbf{n}_1
+
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</math>
+
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perpendicular al plano
+
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<math>
+
-
\pi_1
+
-
</math>
+
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lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación de
+
-
<math>
+
-
\pi_1
+
-
</math>:
+
-
 
+
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<center>
+
-
<math>
+
-
\mathbf{n}_1 = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
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De la misma forma obtenemos un vector
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<math>
+
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\mathbf{n}_2
+
-
</math>
+
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perpendicular al plano
+
-
<math>
+
-
\pi_2
+
-
</math>:
+
-
 
+
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<center>
+
-
<math>
+
-
\mathbf{n}_2 = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
El producto vectorial de ambos vectores,
+
-
<math>
+
-
\mathbf{n}_1
+
-
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+
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y
+
-
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+
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-
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-
\mathbf{u} =
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-
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-
\begin{array}{ccc}
+
-
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}
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-
\\
+
-
1 & -2 & 3
+
-
\\
+
-
2 & -1 & 0
+
-
\end{array}
+
-
\right| = \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
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<br/>
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-
 
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donde
+
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<center>
+
-
<math>
+
-
\begin{array}{ll}
+
-
\mathbf{i} & = \left( \, 1, \, 0, \, 0 \, \right)
+
-
\\
+
-
\mathbf{j} & = \left( \, 0, \, 1, \, 0 \, \right)
+
-
\\
+
-
\mathbf{k} & = \left( \, 0, \, 0, \, 1 \, \right)
+
-
\end{array}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
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-
 
+
-
El producto escalar de
+
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<math>
+
-
\mathbf{u}
+
-
</math>
+
-
por &nbsp;
+
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<math>
+
-
\vec{PP^\prime }
+
-
</math>
+
-
&nbsp; es
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-
 
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<br/>
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-
 
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<center>
+
-
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+
-
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+
-
\begin{array}{ccc}
+
-
x - 2 & y - 1 & z - 0
+
-
\\
+
-
1 & -2 & 3
+
-
\\
+
-
2 & -1 & 0
+
-
\end{array}
+
-
\right|
+
-
= \left( \, x - 2, \, y - 1, \, z - 0 \, \right) \cdot \left( \, 3, \, 6, \, 3
+
-
\, \right) =
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
= 3 \cdot \left( \, x - 2 \, \right) + 6 \cdot \left( \, y - 1 \,
+
-
\right) + 3 \cdot \left( \, z - 0 \, \right) = 3x + 6y + 3z -12 = 0
+
-
\right|
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
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-
<br/>
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-
 
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donde la primera fila del determinante es el vector &nbsp;
+
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+
-
\vec{PP^\prime }
+
-
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+
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-
 
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El punto
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P^\prime
+
-
</math>
+
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es, pues, la solución del sistema de ecuaciones
+
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+
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+
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-
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+
-
<math>
+
-
\left\{
+
-
\begin{array}{l}
+
-
0 = 3x + 6y + 3z -12
+
-
\\
+
-
0 = x - 2y + 3z
+
-
\\
+
-
0 = 2x - y + 4
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
-
</math>
+
-
</center>
+
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+
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<br/>
+
-
 
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Restando a la tercera ecuación la primera y la segunda se tiene que
+
-
 
+
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<br/>
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-
 
+
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<center>
+
-
<math>
+
-
0 = 9y - 16
+
-
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+
-
</center>
+
-
 
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<br/>
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-
 
+
-
con lo cual &nbsp;
+
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<math>
+
-
y = \frac{16}{9}
+
-
</math>.
+
-
&nbsp; Sustituyendo
+
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+
-
y
+
-
</math>
+
-
por
+
-
<math>
+
-
\frac{16}{9}
+
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</math>
+
-
en la tercera ecuación del sistema y despejando
+
-
<math>
+
-
x
+
-
</math>
+
-
se llega a que
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
x = \frac{y}{2} - 2 = \frac{8}{9} - 2 = -\frac{10}{9}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
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+
-
Finalmente, sustituyendo
+
-
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+
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y
+
-
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+
-
por
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-
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+
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\frac{16}{9}
+
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</math>
+
-
y
+
-
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+
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x
+
-
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+
-
por &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\frac{-10}{9}
+
-
</math>
+
-
&nbsp;
+
-
en la segunda ecuación del sistema y despejando
+
-
<math>
+
-
z
+
-
</math>
+
-
se llega a que
+
-
<center>
+
-
<math>
+
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z = \frac{1}{3} \cdot \left( \, 2y - x \, \right) = \frac{1}{3} \cdot \left( \,
+
-
2 \cdot \frac{16}{9} + \frac{10}{9} \, \right) = \frac{42}{27} = \frac{14}{9}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
La distancia de
+
-
<math>
+
-
P
+
-
</math>
+
-
a
+
-
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+
-
r
+
-
</math>
+
-
coincide con la distancia de
+
-
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+
-
P
+
-
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+
-
a
+
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+
-
P^\prime
+
-
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+
-
y esta es:
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+
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<center>
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<math>
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\sqrt{\left( \, 2 - \left( \, -\frac{10}{9} \, \right) \right)^2 + \left( \, 1 - \frac{16}{9} \, \right)^2 + \left( \, 0 -
+
-
\frac{14}{9} \, \right)^2}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
==Distancia de un punto a un plano==
==Distancia de un punto a un plano==

Revisión de 11:11 30 jun 2011

Tabla de contenidos

Distancia entre dos puntos


La distancia entre dos puntos   P = \left( \, x, \, y, \, z \, \right)   y   P^\prime = \left( \, x^\prime, \, y^\prime, \, z^\prime \, \right)   es

\mathrm{d} \left( \, P, \, P^\prime \, \right) = \sqrt{ </p> <pre> \left( \, x - x^\prime \, \right)^2 + \left( \, y - y^\prime \, \right)^2 + \left( \, z - z^\prime \, \right)^2 </pre> <p>}


WYPiXu <a href="http://bfkiineglono.com/">bfkiineglono</a>

Distancia de un punto a un plano


Sea \pi un plano con vector normal \mathbf{n} y al que pertenece el punto   Q .


La distancia de un punto P al plano \pi es la longitud de la proyección del vector \vec{PQ} en la dirección normal al plano \pi , que se puede calcular mediante la fórmula:

\frac{\left| \, \mathbf{n} \cdot \vec{PQ} \, \right|}{\left| \vec{PQ} \right| \cdot \left| </p> <pre> \, \mathbf{n} \, \right|}} </pre> <p>


Imagen:dcPnPlg.png


Now we know who the sensilbe one is here. Great post!

Distancia de una recta a un plano


Sea r una recta paralela a un plano \pi .


Para calcular la distancia de r a \pi lo unico que tenemos que hacer es encontrar un punto P en la recta r y calcular la distancia de este punto al plano \pi .


Distancia entre dos rectas


Para calcular la distancia entre dos rectas, r y s , que se cruzan se procede de la siguiente manera:

En primer lugar, se encuentran vectores directores de ambas rectas,   \mathbf{u}_r   y   \mathbf{u}_s , y un par de puntos,   P   y   Q ,   en r y en s , respectivamente.


A continuación, se calcula la longitud de la proyección del vector \vec{PQ} en la dirección normal a un plano paralelo a r y a s . Esta dirección es la del vector


\mathbf{n} = \mathbf{u}_r \times \mathbf{u}_s

La distancia que buscamos la podemos cacular con la formula


\frac{\left| \, \mathbf{n} \cdot \vec{PQ} \, \right|} {\left| \vec{PQ} \right| \cdot \left| \, \mathbf{n} \, \right|}}


Boy that ralely helps me the heck out.

Obtenido de "http://www.wikillerato.org/Problemas_de_distancias.html"
   
 
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