¿Qué es una matriz?
De Wikillerato
Línea 1: | Línea 1: | ||
- | + | ==Definición de matriz== | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | <br/> | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | Una matriz es un cuadrado o tabla de numeros ordenados. Se llama matriz de dimension | |
+ | | ||
+ | <math> | ||
+ | m \times n | ||
+ | </math> | ||
+ | a un conjunto de números reales dispuestos en | ||
+ | <math> | ||
+ | m | ||
+ | </math> | ||
+ | filas y | ||
+ | <math> | ||
+ | n | ||
+ | </math> | ||
+ | columnas de la siguiente forma | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | |||
\left( | \left( | ||
- | \begin{array}[c]{ | + | \begin{array}[c]{cccc} |
- | a_{11} & a_{12} | + | a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n} |
\\ | \\ | ||
- | a_{21} & a_{22} | + | a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n} |
+ | \\ | ||
+ | \vdots & \vdots & \ddots & \vdots | ||
+ | \\ | ||
+ | a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn} | ||
\end{array} | \end{array} | ||
\right) | \right) | ||
</math> | </math> | ||
- | + | </center> | |
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | La matriz | ||
<math> | <math> | ||
- | A | + | A |
</math> | </math> | ||
- | | + | se puede designar tambien como |
+ | <math> | ||
+ | \quad A = \left( a_{ij} \right) \quad | ||
+ | </math> | ||
+ | donde | ||
<br/> | <br/> | ||
Línea 28: | Línea 52: | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | + | \left\{ | |
- | + | \begin{array}[c]{l} | |
- | \begin{array}{ | + | i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m |
- | + | ||
\\ | \\ | ||
- | + | j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n | |
\end{array} | \end{array} | ||
- | \right | + | \right. |
- | + | ||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
<br/> | <br/> | ||
+ | |||
+ | Un elemento generico de la matriz se designa por | ||
+ | <math> | ||
+ | a_{ij} | ||
+ | </math> | ||
+ | en el cual el subindice | ||
+ | <math> | ||
+ | i | ||
+ | </math> | ||
+ | representa el numero de fila que ocupa el elemento y el subindice | ||
+ | <math> | ||
+ | j | ||
+ | </math> | ||
+ | el numero de columna. | ||
+ | |||
+ | El conjunto de matrices de dimension | ||
+ | <math> | ||
+ | m \times n | ||
+ | </math> | ||
+ | se denota por: | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | M_{m \times n} | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | El conjunto de matrices de dimension | ||
+ | <math> | ||
+ | n \times n | ||
+ | </math> | ||
+ | , tambien llamadas de orden | ||
+ | <math> | ||
+ | n | ||
+ | </math> | ||
+ | , se denota por: | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | M_n | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos: | ||
+ | |||
+ | * la diagonal principal formada por los elementos de la forma | ||
+ | <math> | ||
+ | a_{ii} | ||
+ | </math> | ||
+ | | ||
+ | |||
+ | *la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma | ||
+ | <math> | ||
+ | a_{ij} | ||
+ | </math> | ||
+ | tales que | ||
+ | <math> | ||
+ | i + j = n + 1 | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | [[Image:diagonales.gif]] | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | Una '''matriz rectangular''' es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas | ||
+ | | ||
+ | <math> | ||
+ | \left( | ||
+ | m \neq n | ||
+ | \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | ====Ejemplo: matriz rectangular==== | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \left( | ||
+ | \begin{array}[c]{ccc} | ||
+ | 1 & -1 & ~~0 | ||
+ | \\ | ||
+ | 2 & ~~3 & -1 | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | '''Matriz fila''' es toda matriz rectangular con una sola fila de dimension | ||
+ | <math> | ||
+ | 1 \times n | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | ====Ejemplo: matriz fila==== | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \left( | ||
+ | \begin{array}[c]{ccc} | ||
+ | -1 & 3 & 5 | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | ''''Matriz columna'''' es toda matriz rectangular con una sola columna de dimension | ||
+ | <math> | ||
+ | m \times 1 | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | ====Ejemplo: matriz columna==== | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \left( | ||
+ | \begin{array}[c]{c} | ||
+ | -1 | ||
+ | \\ | ||
+ | ~~3 | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | Una '''matriz nula''' es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota | ||
+ | por | ||
+ | <math> | ||
+ | 0 | ||
+ | </math> | ||
+ | . | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | ====Ejemplo: matriz nula==== | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \left( | ||
+ | \begin{array}[c]{ccc} | ||
+ | 0 & 0 & 0 | ||
+ | \\ | ||
+ | 0 & 0 & 0 | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | '''Matriz triangular superior''' es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos | ||
+ | situados por debajo de la diagonal principal son ceros. | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | ====Ejemplo: matriz triangular superior==== | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \left( | ||
+ | \begin{array}[c]{ccc} | ||
+ | 1 & -1 & ~~0 | ||
+ | \\ | ||
+ | 0 & ~~3 & -1 | ||
+ | \\ | ||
+ | 0 & ~~0 & ~~2 | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | '''Matriz triangular inferior''' es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos | ||
+ | situados por encima de la diagonal principal son ceros. | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | ====Ejemplo: matriz triangular inferior==== | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \left( | ||
+ | \begin{array}[c]{ccc} | ||
+ | 2 & ~~0 & 0 | ||
+ | \\ | ||
+ | 3 & -1 & 0 | ||
+ | \\ | ||
+ | 1 & -1 & 3 | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | '''Matriz diagonal''' es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos | ||
+ | no situados en la diagonal principal son ceros. | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | ====Ejemplo: matriz diagonal==== | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \left( | ||
+ | \begin{array}[c]{ccc} | ||
+ | ~~2 & ~~0 & ~~0 | ||
+ | \\ | ||
+ | ~~0 & -1 & ~~0 | ||
+ | \\ | ||
+ | ~~0 & ~~0 & ~~3 | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | '''Matriz escalar''' es toda matriz diagonal en la que todos los terminos | ||
+ | de la diagonal principal son iguales. | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | ====Ejemplo: matriz escalar==== | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \left( | ||
+ | \begin{array}[c]{ccc} | ||
+ | 2 & {0} & {0} | ||
+ | \\ | ||
+ | {0} & 2 & {0} | ||
+ | \\ | ||
+ | {0} & {0} & 2 | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | '''Matriz unidad''' es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son todos | ||
+ | | ||
+ | <math> | ||
+ | 1 | ||
+ | </math> | ||
+ | . | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | ====Ejemplo: matriz unidad==== | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \left( | ||
+ | \begin{array}[c]{ccc} | ||
+ | 1 & {0} & {0} | ||
+ | \\ | ||
+ | {0} & 1 & {0} | ||
+ | \\ | ||
+ | {0} & {0} & 1 | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> |
Revisión de 15:30 7 dic 2006
Tabla de contenidos |
Definición de matriz
Una matriz es un cuadrado o tabla de numeros ordenados. Se llama matriz de dimension a un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas de la siguiente forma
La matriz se puede designar tambien como donde
Un elemento generico de la matriz se designa por en el cual el subindice representa el numero de fila que ocupa el elemento y el subindice el numero de columna.
El conjunto de matrices de dimension se denota por:
El conjunto de matrices de dimension , tambien llamadas de orden , se denota por:
Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos:
- la diagonal principal formada por los elementos de la forma
- la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma
tales que
Una matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas
Ejemplo: matriz rectangular
Matriz fila es toda matriz rectangular con una sola fila de dimension
Ejemplo: matriz fila
'Matriz columna' es toda matriz rectangular con una sola columna de dimension
Ejemplo: matriz columna
Una matriz nula es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota por .
Ejemplo: matriz nula
Matriz triangular superior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
Ejemplo: matriz triangular superior
Matriz triangular inferior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
Ejemplo: matriz triangular inferior
Matriz diagonal es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos no situados en la diagonal principal son ceros.
Ejemplo: matriz diagonal
Matriz escalar es toda matriz diagonal en la que todos los terminos de la diagonal principal son iguales.
Ejemplo: matriz escalar
Matriz unidad es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son todos .
Ejemplo: matriz unidad