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¿Qué es una matriz?

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Línea 1: Línea 1:
-
A una matriz cuadrada le podemos asociar un número que, como veremos con posterioridad,
+
==Definición de matriz==
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nos permitirá estudiar y resolver un sistema de ecuaciones lineales y examinar si una
+
-
matriz dada posee matriz inversa y calcularla.
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Este número que vamos a asociar a una matriz cuadrada lo llamaremos determinante de dicha
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<br/>
-
matriz. Veamos su calculo para matrices cuadradas de orden 2, y con posterioridad
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calcularemos determinantes de matrices cuadradas de cualquier orden.
+
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Para una matriz cuadrada de orden 2, &nbsp;
+
Una matriz es un cuadrado o tabla de numeros ordenados. Se llama matriz de dimension
 +
&nbsp;
 +
<math>
 +
m \times n
 +
</math>
 +
&nbsp; a un conjunto de números reales dispuestos en &nbsp;
 +
<math>
 +
m
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</math>
 +
&nbsp; filas y &nbsp;
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<math>
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n
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</math>
 +
&nbsp; columnas de la siguiente forma &nbsp;
 +
 
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<br/>
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<center>
<math>
<math>
-
A =
 
\left(
\left(
-
\begin{array}[c]{cc}
+
\begin{array}[c]{cccc}
-
a_{11} & a_{12}
+
a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n}
\\
\\
-
a_{21} & a_{22}
+
a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n}
 +
\\
 +
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
 +
\\
 +
a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{array}
\end{array}
\right)
\right)
</math>
</math>
-
&nbsp; se llama determinante de &nbsp;
+
</center>
 +
 
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<br/>
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La matriz &nbsp;
<math>
<math>
-
A
+
A
</math>
</math>
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&nbsp; al número real:
+
&nbsp; se puede designar tambien como &nbsp;
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<math>
 +
\quad A = \left( a_{ij} \right) \quad
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</math>
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&nbsp; donde
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Línea 28: Línea 52:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\makebox{det} \left( A \right) = \left| A \right| =
+
\left\{
-
\left|
+
\begin{array}[c]{l}
-
\begin{array}{cc}
+
i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m
-
a_{11} & a_{12}
+
\\
\\
-
a_{21} & a_{22}
+
j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n
\end{array}
\end{array}
-
\right|
+
\right.
-
= a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}
+
</math>
</math>
</center>
</center>
<br/>
<br/>
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Un elemento generico de la matriz se designa por &nbsp;
 +
<math>
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a_{ij}
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</math>
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&nbsp; en el cual el subindice &nbsp;
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<math>
 +
i
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</math>
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&nbsp; representa el numero de fila que ocupa el elemento y el subindice &nbsp;
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j
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</math>
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&nbsp; el numero de columna.
 +
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El conjunto de matrices de dimension &nbsp;
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m \times n
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</math>
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&nbsp; se denota por:
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<center>
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<math>
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M_{m \times n}
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</math>
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</center>
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<br/>
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El conjunto de matrices de dimension &nbsp;
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<math>
 +
n \times n
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</math>
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, &nbsp; tambien llamadas de orden &nbsp;
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<math>
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n
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</math>
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, &nbsp; se denota por:
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<center>
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<math>
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M_n
 +
</math>
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</center>
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<br/>
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Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos:
 +
 +
* la diagonal principal formada por los elementos de la forma &nbsp;
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<math>
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a_{ii}
 +
</math>
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&nbsp;
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*la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma &nbsp;
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<math>
 +
a_{ij}
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</math>
 +
&nbsp; tales que &nbsp;
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<math>
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i + j = n + 1
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</math>
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<br/>
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[[Image:diagonales.gif]]
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</center>
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<br/>
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Una '''matriz rectangular''' es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas
 +
&nbsp;
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<math>
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\left(
 +
m \neq n
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\right)
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</math>
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<br/>
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====Ejemplo: matriz rectangular====
 +
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<br/>
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<center>
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<math>
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\left(
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\begin{array}[c]{ccc}
 +
1 & -1 & ~~0
 +
\\
 +
2 & ~~3 & -1
 +
\end{array}
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\right)
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</math>
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</center>
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<br/>
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'''Matriz fila''' es toda matriz rectangular con una sola fila de dimension &nbsp;
 +
<math>
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1 \times n
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</math>
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<br/>
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====Ejemplo: matriz fila====
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<br/>
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<center>
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<math>
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\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
-1 & 3 & 5
 +
\end{array}
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\right)
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</math>
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</center>
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<br/>
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''''Matriz columna'''' es toda matriz rectangular con una sola columna de dimension &nbsp;
 +
<math>
 +
m \times 1
 +
</math>
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 +
<br/>
 +
 +
====Ejemplo: matriz columna====
 +
 +
<br/>
 +
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<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{c}
 +
-1
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\\
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~~3
 +
\end{array}
 +
\right)
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</math>
 +
</center>
 +
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<br/>
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Una '''matriz nula''' es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota
 +
por &nbsp;
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<math>
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0
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</math>
 +
.
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<br/>
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====Ejemplo: matriz nula====
 +
 +
<br/>
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 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
0 & 0 & 0
 +
\\
 +
0 & 0 & 0
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
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 +
'''Matriz triangular superior''' es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
 +
situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
 +
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<br/>
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====Ejemplo: matriz triangular superior====
 +
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<br/>
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<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
1 & -1 & ~~0
 +
\\
 +
0 & ~~3 & -1
 +
\\
 +
0 & ~~0 & ~~2
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
'''Matriz triangular inferior''' es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
 +
situados por encima de la diagonal principal son ceros.
 +
 +
<br/>
 +
 +
====Ejemplo: matriz triangular inferior====
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
2 & ~~0 & 0
 +
\\
 +
3 & -1 & 0
 +
\\
 +
1 & -1 & 3
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
'''Matriz diagonal''' es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
 +
no situados en la diagonal principal son ceros.
 +
 +
<br/>
 +
 +
====Ejemplo: matriz diagonal====
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
~~2 & ~~0 & ~~0
 +
\\
 +
~~0 & -1 & ~~0
 +
\\
 +
~~0 & ~~0 & ~~3
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
'''Matriz escalar''' es toda matriz diagonal en la que todos los terminos
 +
de la diagonal principal son iguales.
 +
 +
<br/>
 +
 +
====Ejemplo: matriz escalar====
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
2 & {0} & {0}
 +
\\
 +
{0} & 2 & {0}
 +
\\
 +
{0} & {0} & 2
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
'''Matriz unidad''' es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son todos
 +
&nbsp;
 +
<math>
 +
1
 +
</math>
 +
.
 +
 +
<br/>
 +
 +
====Ejemplo: matriz unidad====
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
1 & {0} & {0}
 +
\\
 +
{0} & 1 & {0}
 +
\\
 +
{0} & {0} & 1
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>

Revisión de 15:30 7 dic 2006

Tabla de contenidos

Definición de matriz


Una matriz es un cuadrado o tabla de numeros ordenados. Se llama matriz de dimension   
m \times n 
  a un conjunto de números reales dispuestos en   
m
  filas y   
n
  columnas de la siguiente forma  



\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cccc}
   a_{11 }& a_{12} & \ldots &  a_{1n}
   \\
   a_{21 }& a_{22} & \ldots &  a_{2n}
   \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
   \\
   a_{m1 }& a_{m2} & \ldots &  a_{mn}
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


La matriz   
A 
  se puede designar tambien como   
\quad A = \left( a_{ij} \right) \quad
  donde



\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{l}
   i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m
   \\
   j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


Un elemento generico de la matriz se designa por   
a_{ij}
  en el cual el subindice   
i
  representa el numero de fila que ocupa el elemento y el subindice   
j
  el numero de columna.

El conjunto de matrices de dimension   
m \times n
  se denota por:



M_{m \times n}


El conjunto de matrices de dimension   
n \times n
,   tambien llamadas de orden   
n
,   se denota por:



M_n


Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos:

  • la diagonal principal formada por los elementos de la forma  


a_{ii}
 

  • la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma  


a_{ij}
  tales que   
i + j = n + 1


Image:diagonales.gif


Una matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas   
\left(
</p>
<pre> m \neq n
</pre>
<p>\right)


Ejemplo: matriz rectangular



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     1 & -1 & ~~0
     \\
     2 & ~~3 & -1
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz fila es toda matriz rectangular con una sola fila de dimension   
1 \times n


Ejemplo: matriz fila



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     -1 & 3 & 5 
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


'Matriz columna' es toda matriz rectangular con una sola columna de dimension   
m \times 1


Ejemplo: matriz columna



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{c}
     -1 
     \\
     ~~3
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Una matriz nula es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota por   
0
.


Ejemplo: matriz nula



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     0 & 0 & 0
     \\
     0 & 0 & 0
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz triangular superior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.


Ejemplo: matriz triangular superior



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     1 & -1 & ~~0
     \\
     0 & ~~3 & -1
     \\
     0  & ~~0 & ~~2
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz triangular inferior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por encima de la diagonal principal son ceros.


Ejemplo: matriz triangular inferior



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     2 & ~~0 & 0 
     \\
     3 & -1 & 0
     \\
     1 & -1 & 3
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz diagonal es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos no situados en la diagonal principal son ceros.


Ejemplo: matriz diagonal



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     ~~2 & ~~0 & ~~0 
     \\
     ~~0 & -1 & ~~0
     \\
     ~~0 & ~~0 & ~~3
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz escalar es toda matriz diagonal en la que todos los terminos de la diagonal principal son iguales.


Ejemplo: matriz escalar



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     2 & {0} & {0} 
     \\
     {0} & 2 & {0}
     \\
     {0} & {0} & 2
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz unidad es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son todos   
1
.


Ejemplo: matriz unidad



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     1 & {0} & {0} 
     \\
     {0} & 1 & {0}
     \\
     {0} & {0} & 1
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>

   
 
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