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Línea 1: |
Línea 1: |
- | ==Definición de matriz==
| + | A una matriz cuadrada le podemos asociar un número que, como veremos con posterioridad, |
| + | nos permitirá estudiar y resolver un sistema de ecuaciones lineales y examinar si una |
| + | matriz dada posee matriz inversa y calcularla. |
| | | |
- | <br/>
| + | Este número que vamos a asociar a una matriz cuadrada lo llamaremos determinante de dicha |
| + | matriz. Veamos su calculo para matrices cuadradas de orden 2, y con posterioridad |
| + | calcularemos determinantes de matrices cuadradas de cualquier orden. |
| | | |
- | Una matriz es un cuadrado o tabla de numeros ordenados. Se llama matriz de dimension
| + | Para una matriz cuadrada de orden 2, |
- |
| + | |
- | <math>
| + | |
- | m \times n
| + | |
- | </math>
| + | |
- | a un conjunto de números reales dispuestos en
| + | |
- | <math>
| + | |
- | m
| + | |
- | </math>
| + | |
- | filas y
| + | |
- | <math>
| + | |
- | n
| + | |
- | </math>
| + | |
- | columnas de la siguiente forma
| + | |
- | | + | |
- | <br/>
| + | |
- | | + | |
- | <center>
| + | |
| <math> | | <math> |
| + | A = |
| \left( | | \left( |
- | \begin{array}[c]{cccc} | + | \begin{array}[c]{cc} |
- | a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n} | + | a_{11} & a_{12} |
| \\ | | \\ |
- | a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n} | + | a_{21} & a_{22} |
- | \\
| + | |
- | \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
| + | |
- | \\
| + | |
- | a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn}
| + | |
| \end{array} | | \end{array} |
| \right) | | \right) |
| </math> | | </math> |
- | </center>
| + | se llama determinante de |
- | | + | |
- | <br/>
| + | |
- | | + | |
- | La matriz
| + | |
| <math> | | <math> |
- | A | + | A |
| </math> | | </math> |
- | se puede designar tambien como | + | al número real: |
- | <math>
| + | |
- | \quad A = \left( a_{ij} \right) \quad
| + | |
- | </math>
| + | |
- | donde
| + | |
| | | |
| <br/> | | <br/> |
Línea 52: |
Línea 28: |
| <center> | | <center> |
| <math> | | <math> |
- | \left\{ | + | \makebox{det} \left( A \right) = \left| A \right| = |
- | \begin{array}[c]{l} | + | \left| |
- | i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m | + | \begin{array}{cc} |
| + | a_{11} & a_{12} |
| \\ | | \\ |
- | j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n | + | a_{21} & a_{22} |
| \end{array} | | \end{array} |
- | \right. | + | \right| |
| + | = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21} |
| </math> | | </math> |
| </center> | | </center> |
| | | |
| <br/> | | <br/> |
- |
| |
- | Un elemento generico de la matriz se designa por
| |
- | <math>
| |
- | a_{ij}
| |
- | </math>
| |
- | en el cual el subindice
| |
- | <math>
| |
- | i
| |
- | </math>
| |
- | representa el numero de fila que ocupa el elemento y el subindice
| |
- | <math>
| |
- | j
| |
- | </math>
| |
- | el numero de columna.
| |
- |
| |
- | El conjunto de matrices de dimension
| |
- | <math>
| |
- | m \times n
| |
- | </math>
| |
- | se denota por:
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | <center>
| |
- | <math>
| |
- | M_{m \times n}
| |
- | </math>
| |
- | </center>
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | El conjunto de matrices de dimension
| |
- | <math>
| |
- | n \times n
| |
- | </math>
| |
- | , tambien llamadas de orden
| |
- | <math>
| |
- | n
| |
- | </math>
| |
- | , se denota por:
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | <center>
| |
- | <math>
| |
- | M_n
| |
- | </math>
| |
- | </center>
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos:
| |
- |
| |
- | * la diagonal principal formada por los elementos de la forma
| |
- | <math>
| |
- | a_{ii}
| |
- | </math>
| |
- |
| |
- |
| |
- | *la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma
| |
- | <math>
| |
- | a_{ij}
| |
- | </math>
| |
- | tales que
| |
- | <math>
| |
- | i + j = n + 1
| |
- | </math>
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | <center>
| |
- | [[Image:diagonales.gif]]
| |
- | </center>
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | Una '''matriz rectangular''' es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas
| |
- |
| |
- | <math>
| |
- | \left(
| |
- | m \neq n
| |
- | \right)
| |
- | </math>
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | ====Ejemplo: matriz rectangular====
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | <center>
| |
- | <math>
| |
- | \left(
| |
- | \begin{array}[c]{ccc}
| |
- | 1 & -1 & ~~0
| |
- | \\
| |
- | 2 & ~~3 & -1
| |
- | \end{array}
| |
- | \right)
| |
- | </math>
| |
- | </center>
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | '''Matriz fila''' es toda matriz rectangular con una sola fila de dimension
| |
- | <math>
| |
- | 1 \times n
| |
- | </math>
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | ====Ejemplo: matriz fila====
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | <center>
| |
- | <math>
| |
- | \left(
| |
- | \begin{array}[c]{ccc}
| |
- | -1 & 3 & 5
| |
- | \end{array}
| |
- | \right)
| |
- | </math>
| |
- | </center>
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | ''''Matriz columna'''' es toda matriz rectangular con una sola columna de dimension
| |
- | <math>
| |
- | m \times 1
| |
- | </math>
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | ====Ejemplo: matriz columna====
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | <center>
| |
- | <math>
| |
- | \left(
| |
- | \begin{array}[c]{c}
| |
- | -1
| |
- | \\
| |
- | ~~3
| |
- | \end{array}
| |
- | \right)
| |
- | </math>
| |
- | </center>
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | Una '''matriz nula''' es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota
| |
- | por
| |
- | <math>
| |
- | 0
| |
- | </math>
| |
- | .
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | ====Ejemplo: matriz nula====
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | <center>
| |
- | <math>
| |
- | \left(
| |
- | \begin{array}[c]{ccc}
| |
- | 0 & 0 & 0
| |
- | \\
| |
- | 0 & 0 & 0
| |
- | \end{array}
| |
- | \right)
| |
- | </math>
| |
- | </center>
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | '''Matriz triangular superior''' es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
| |
- | situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | ====Ejemplo: matriz triangular superior====
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | <center>
| |
- | <math>
| |
- | \left(
| |
- | \begin{array}[c]{ccc}
| |
- | 1 & -1 & ~~0
| |
- | \\
| |
- | 0 & ~~3 & -1
| |
- | \\
| |
- | 0 & ~~0 & ~~2
| |
- | \end{array}
| |
- | \right)
| |
- | </math>
| |
- | </center>
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | '''Matriz triangular inferior''' es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
| |
- | situados por encima de la diagonal principal son ceros.
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | ====Ejemplo: matriz triangular inferior====
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | <center>
| |
- | <math>
| |
- | \left(
| |
- | \begin{array}[c]{ccc}
| |
- | 2 & ~~0 & 0
| |
- | \\
| |
- | 3 & -1 & 0
| |
- | \\
| |
- | 1 & -1 & 3
| |
- | \end{array}
| |
- | \right)
| |
- | </math>
| |
- | </center>
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | '''Matriz diagonal''' es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
| |
- | no situados en la diagonal principal son ceros.
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | ====Ejemplo: matriz diagonal====
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | <center>
| |
- | <math>
| |
- | \left(
| |
- | \begin{array}[c]{ccc}
| |
- | ~~2 & ~~0 & ~~0
| |
- | \\
| |
- | ~~0 & -1 & ~~0
| |
- | \\
| |
- | ~~0 & ~~0 & ~~3
| |
- | \end{array}
| |
- | \right)
| |
- | </math>
| |
- | </center>
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | '''Matriz escalar''' es toda matriz diagonal en la que todos los terminos
| |
- | de la diagonal principal son iguales.
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | ====Ejemplo: matriz escalar====
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | <center>
| |
- | <math>
| |
- | \left(
| |
- | \begin{array}[c]{ccc}
| |
- | 2 & {0} & {0}
| |
- | \\
| |
- | {0} & 2 & {0}
| |
- | \\
| |
- | {0} & {0} & 2
| |
- | \end{array}
| |
- | \right)
| |
- | </math>
| |
- | </center>
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | '''Matriz unidad''' es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son todos
| |
- |
| |
- | <math>
| |
- | 1
| |
- | </math>
| |
- | .
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | ====Ejemplo: matriz unidad====
| |
- |
| |
- | <br/>
| |
- |
| |
- | <center>
| |
- | <math>
| |
- | \left(
| |
- | \begin{array}[c]{ccc}
| |
- | 1 & {0} & {0}
| |
- | \\
| |
- | {0} & 1 & {0}
| |
- | \\
| |
- | {0} & {0} & 1
| |
- | \end{array}
| |
- | \right)
| |
- | </math>
| |
- | </center>
| |
A una matriz cuadrada le podemos asociar un número que, como veremos con posterioridad,
nos permitirá estudiar y resolver un sistema de ecuaciones lineales y examinar si una
matriz dada posee matriz inversa y calcularla.
Este número que vamos a asociar a una matriz cuadrada lo llamaremos determinante de dicha
matriz. Veamos su calculo para matrices cuadradas de orden 2, y con posterioridad
calcularemos determinantes de matrices cuadradas de cualquier orden.