Elipse

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)

Revisión actual

Tabla de contenidos

1 Definición
2 Ecuación
3 Ejemplo
4 Referencias

Definición

Llamamos lugar geometrico al conjunto de puntos que satisfacen una determinada propiedad.

Llamamos elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos del plano es constante este valor es 2a, $F1$ y $F2$ , es constante. Veamos sus elementos en los siguiente dibujos:

Los puntos fijos $F1$ y $F2$ se denominan focos, siendo el eje focal la recta que pasa por ellos.

Se llama eje secundario a la mediatriz del segmento $\overline{F1F2}$ . El punto medio de dicho segmento es el centro de la elipse.

Los dos ejes de la elipse cortan a ésta en cuatro puntos, $A$ , $B$ , $C$ y $D$ que reciben el nombre de vértices .

La distancia focal es la que hay entre los focos y se expresa por $2c$ . La mitad de esta distancia, $c$ , es la semidistancia focal.

Para cualquier punto $P$ de la elipse, se verifica que $\overline{PF1} \, + \, \overline{PF2}$ es constante. Llamamos a esta constante $2a$ .

El segmento $\overline{AB}$ es el eje mayor de la elipse. La longitud del eje mayor es $2a$ . La mitad de esta distancia, $a$ , se denomina semieje mayor.

El segmento $\overline{CD}$ es el eje menor de la elipse y su longitud se expresa por $2b$ . La mitad de esta distancia, $b$ , es el semieje menor.

Si aplicamos el teorema de Pitagoras al triangulo rectangulo que forman los puntos $C$ , $B$ y el centro de la elipse, concluimos que en cualquier elipse se cumple la relación:

$a^2 \, = \, b^2 \, + \, c^2$

La excentricidad de una elipse es su grado de achatamiento y su valor está determinado por la expresión:

$e \, = \, \frac{c}{a}$

Cuanto mayor es la excentricidad mas achatada es la elipse. En una elipse $a > c > 0$ y por lo tanto la excentricidad es positiva y menor que uno.

¿Existira alguna relación entre la excentricidad de una elipse y la excentricidad de una persona?

En la imagen de abajo vemos a un jardinero que esta dibujando una elipse en un jardin
para poner en él sus rosales. Ha puesto dos estacas en el suelo separadas una cierta
distancia y esta utilizando una cuerda con sus extremos unidos. El jardinero tensa la
cuerda con las dos estacas y una vara que sujeta con la mano y dibuja la elipse creando
un surco con la vara mientras se asegura de que la cuerda siempre forma un triangulo:

Ecuación

Supongamos que el origen de cordenadas esta en el centro de la elipse y que el eje focal coincide con el eje $X$ , entonces los focos son:

$F1 \, = \, \left( <pre> \, -c, \, 0 \, </pre> \right) \qquad \mathrm{y} \qquad F2 \, = \, \left( <pre> \, c, \, 0 \, </pre> \right)$

La condición de que la suma de la distancias de un punto cualquiera de la elipse, $P \, = \, \left( <pre> \, x, \, y \, </pre> \right)$ , a los focos es $2a$ se puede expresar matematicamente de la siguiente forma:

$\sqrt { <pre> \left( \, x \, + \, c \, \right) ^2 \, + \, y^2 </pre> } \, + \, \sqrt { <pre> \left( \, x \, - \, c \, \right) ^2 \, + \, y^2 </pre> } \, = \, 2a$

Igualdad que es equivalente a esta otra:

$\frac{x^2}{a^2} \, + \, \frac{y^2}{b^2} \, = \, 1$

que constituye la ecuación reducida de la elipse.

Ejemplo

Un circunferencia se puede considerar como un caso especial de elipse. Una circunferencia seria una elipse en el que los dos focos y el centro de la elipse coinciden. En una circunferencia $c = 0$ y, por tanto, la excentricidad de una circunferencia es 0.