Desarrollo de un determinante
De Wikillerato
(Diferencias entre revisiones)
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En esta sección se explica un procedimiento que nos permite calcular determinantes de | En esta sección se explica un procedimiento que nos permite calcular determinantes de | ||
cualquier orden, pero antes hemos de introducir los conceptos de '''''menor complementario''''', '''''adjunto''''' y '''''matriz adjunta'''''. | cualquier orden, pero antes hemos de introducir los conceptos de '''''menor complementario''''', '''''adjunto''''' y '''''matriz adjunta'''''. | ||
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- | + | En una matriz cuadrada de orden | |
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- | n, \, A = \left( \, a_{ij} \, \right), | + | n, \, \mathbf{A} = \left( \, a_{ij} \, \right), |
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se llama '''''menor complementario''''' del elemento | se llama '''''menor complementario''''' del elemento | ||
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de la matriz | de la matriz | ||
<math> | <math> | ||
- | A | + | \mathbf{A} |
</math> | </math> | ||
Línea 50: | Línea 52: | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | A = | + | \mathbf{A} = |
\left( | \left( | ||
\begin{array}{ccc} | \begin{array}{ccc} | ||
Línea 79: | Línea 81: | ||
8 & 9 | 8 & 9 | ||
\end{array} | \end{array} | ||
- | \right| | + | \right| |
- | & | + | & |
\qquad \alpha_{12} = | \qquad \alpha_{12} = | ||
\left| | \left| | ||
Línea 88: | Línea 90: | ||
7 & 9 | 7 & 9 | ||
\end{array} | \end{array} | ||
- | \right| | + | \right| |
& | & | ||
\qquad \alpha_{13} = | \qquad \alpha_{13} = | ||
Línea 98: | Línea 100: | ||
\end{array} | \end{array} | ||
\right| | \right| | ||
- | |||
\\ | \\ | ||
- | & | + | & & |
\\ | \\ | ||
\alpha_{21} = | \alpha_{21} = | ||
Línea 109: | Línea 110: | ||
8 & 9 | 8 & 9 | ||
\end{array} | \end{array} | ||
- | \right| | + | \right| |
& | & | ||
\qquad \alpha_{22} = | \qquad \alpha_{22} = | ||
Línea 118: | Línea 119: | ||
7 & 9 | 7 & 9 | ||
\end{array} | \end{array} | ||
- | \right| | + | \right| |
& | & | ||
\qquad \alpha_{23} = | \qquad \alpha_{23} = | ||
Línea 127: | Línea 128: | ||
7 & 8 | 7 & 8 | ||
\end{array} | \end{array} | ||
- | \right| | + | \right| |
\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
Línea 144: | Línea 145: | ||
5 & 6 | 5 & 6 | ||
\end{array} | \end{array} | ||
- | \right| | + | \right| |
& | & | ||
\qquad \alpha_{32} = | \qquad \alpha_{32} = | ||
Línea 153: | Línea 154: | ||
4 & 6 | 4 & 6 | ||
\end{array} | \end{array} | ||
- | \right| | + | \right| |
& | & | ||
\qquad \alpha_{33} = | \qquad \alpha_{33} = | ||
Línea 162: | Línea 163: | ||
4 & 5 | 4 & 5 | ||
\end{array} | \end{array} | ||
- | \right| | + | \right| |
\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
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<br/> | <br/> | ||
Línea 223: | Línea 176: | ||
Los adjuntos de la matriz | Los adjuntos de la matriz | ||
<math> | <math> | ||
- | A | + | \mathbf{A} |
</math> | </math> | ||
del ejemplo anterior son: | del ejemplo anterior son: | ||
Línea 232: | Línea 185: | ||
<math> | <math> | ||
\begin{array}{ccccccccccc} | \begin{array}{ccccccccccc} | ||
- | A_{11} & = & -3 | + | A_{11} & = & -3 & \qquad & A_{12} & = & ~~~6 & \qquad & A_{13} & = & -3 |
- | A_{21} & = & ~~6 & \qquad & A_{22} & = & -12 | + | \\ |
- | A_{31} & = & -3 & \qquad & A_{32} & = & ~~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3\end{array} | + | A_{21} & = & ~~6 & \qquad & A_{22} & = & -12 & \qquad & A_{23} & = & ~~6 |
+ | \\ | ||
+ | A_{31} & = & -3 & \qquad & A_{32} & = & ~~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3 | ||
+ | &\end{array} | ||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
Línea 242: | Línea 198: | ||
La matriz adjunta de | La matriz adjunta de | ||
<math> | <math> | ||
- | A | + | \mathbf{A} |
</math> | </math> | ||
es | es | ||
Línea 250: | Línea 206: | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \makebox{Adj} \left( A \right) = | + | \makebox{Adj} \left( \mathbf{A} \right) = |
\left( | \left( | ||
\begin{array}{ccc} | \begin{array}{ccc} | ||
Línea 269: | Línea 225: | ||
<br/> | <br/> | ||
- | El determinante de una matriz cuadrada de orden <math> n </math> es igual a la suma de los productos de los elementos | + | El determinante de una matriz cuadrada de orden <math> n </math> es igual a la suma de los productos de los elementos |
- | de una línea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Simbolicamente: | + | de una línea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Simbolicamente: |
- | <center> | + | <center> |
- | <math> | + | <math> |
- | \makebox{det} \left( \, A \, \right) \, = \, a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + \ldots + a_{in} \cdot A_{in} | + | \makebox{det} \left( \, \mathbf{A} \, \right) \, = \, a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + \ldots + a_{in} \cdot A_{in} |
- | </math> | + | </math> |
- | </center> | + | </center> |
- | <center> | + | <center> |
- | <math> | + | <math> |
- | \makebox{det} \left( \, A \, \right) \, = \, a_{1j} \cdot A_{1j} + a_{2j} \cdot A_{2j} + \ldots + a_{nj} \cdot A_{nj} | + | \makebox{det} \left( \, \mathbf{A} \, \right) \, = \, a_{1j} \cdot A_{1j} + a_{2j} \cdot A_{2j} + \ldots + a_{nj} \cdot A_{nj} |
- | </math> | + | </math> |
- | </center> | + | </center> |
<br/> | <br/> | ||
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Revisión de 10:14 3 oct 2010
En esta sección se explica un procedimiento que nos permite calcular determinantes de
cualquier orden, pero antes hemos de introducir los conceptos de menor complementario, adjunto y matriz adjunta.
Tabla de contenidos |
Menor complementario
En una matriz cuadrada de orden se llama menor complementario del elemento y lo representamos por al determinante de la matriz cuadrada de orden que resulta de suprimir la fila y la columna de la matriz
Ejemplo
Los menores complementarios de la matriz
son
Ejemplo
Los adjuntos de la matriz del ejemplo anterior son:
La matriz adjunta de es
Desarrollo de un determinante
El determinante de una matriz cuadrada de orden es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Simbolicamente: