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Desarrollo de un determinante

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
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En esta sección se explica un procedimiento que nos permite calcular determinantes de
En esta sección se explica un procedimiento que nos permite calcular determinantes de
cualquier orden, pero antes hemos de introducir los conceptos de '''''menor complementario''''', '''''adjunto''''' y '''''matriz adjunta'''''.
cualquier orden, pero antes hemos de introducir los conceptos de '''''menor complementario''''', '''''adjunto''''' y '''''matriz adjunta'''''.
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-
Para una matriz cuadrada de orden &nbsp;
+
En una matriz cuadrada de orden &nbsp;
<math>
<math>
-
n, \, A = \left( \, a_{ij} \, \right),
+
n, \, \mathbf{A} = \left( \, a_{ij} \, \right),
</math>
</math>
&nbsp; se llama '''''menor complementario''''' del elemento &nbsp;
&nbsp; se llama '''''menor complementario''''' del elemento &nbsp;
Línea 35: Línea 37:
de la matriz &nbsp;
de la matriz &nbsp;
<math>
<math>
-
A
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
Línea 50: Línea 52:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
A =
+
\mathbf{A} =
\left(
\left(
\begin{array}{ccc}
\begin{array}{ccc}
Línea 79: Línea 81:
8 & 9
8 & 9
\end{array}
\end{array}
-
\right|= -3
+
\right|
-
&
+
&
\qquad \alpha_{12} =
\qquad \alpha_{12} =
\left|
\left|
Línea 88: Línea 90:
7 & 9
7 & 9
\end{array}
\end{array}
-
\right|= -6
+
\right|
&
&
\qquad \alpha_{13} =
\qquad \alpha_{13} =
Línea 98: Línea 100:
\end{array}
\end{array}
\right|
\right|
-
= -3
 
\\
\\
-
& &
+
& &
\\
\\
\alpha_{21} =
\alpha_{21} =
Línea 109: Línea 110:
8 & 9
8 & 9
\end{array}
\end{array}
-
\right| = -6
+
\right|
&
&
\qquad \alpha_{22} =
\qquad \alpha_{22} =
Línea 118: Línea 119:
7 & 9
7 & 9
\end{array}
\end{array}
-
\right| = -12
+
\right|
&
&
\qquad \alpha_{23} =
\qquad \alpha_{23} =
Línea 127: Línea 128:
7 & 8
7 & 8
\end{array}
\end{array}
-
\right| = -6
+
\right|
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
Línea 144: Línea 145:
5 & 6
5 & 6
\end{array}
\end{array}
-
\right|=-3
+
\right|
&
&
\qquad \alpha_{32} =
\qquad \alpha_{32} =
Línea 153: Línea 154:
4 & 6
4 & 6
\end{array}
\end{array}
-
\right|=-6
+
\right|
&
&
\qquad \alpha_{33} =
\qquad \alpha_{33} =
Línea 162: Línea 163:
4 & 5
4 & 5
\end{array}
\end{array}
-
\right|=-3
+
\right|
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
</center>
</center>
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
==Matriz adjunta==
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Para una matriz cuadrada de orden &nbsp;
 
-
<math>
 
-
n, \, A = \left( \, a_{ij} \, \right),
 
-
</math>
 
-
&nbsp; se llama '''''adjunto''''' del elemento &nbsp;
 
-
<math>
 
-
a_{ij},
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y lo representamos por &nbsp;
 
-
<math>
 
-
A_{ij},
 
-
</math>
 
-
&nbsp; al producto &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}
 
-
</math>, &nbsp; es decir:
 
-
 
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<center>
 
-
<math>
 
-
A_{ij} = \left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
La matriz cuyos elementos son los adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada
 
-
&nbsp;
 
-
<math>
 
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A
 
-
</math>
 
-
&nbsp; se llama '''''matriz adjunta''''' de &nbsp;
 
-
<math>
 
-
A
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y se denota por &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\makebox{Adj} \left( A \right)
 
-
</math>
 
-
&nbsp;
 
<br/>
<br/>
Línea 223: Línea 176:
Los adjuntos de la matriz &nbsp;
Los adjuntos de la matriz &nbsp;
<math>
<math>
-
A
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
&nbsp; del ejemplo anterior son:
&nbsp; del ejemplo anterior son:
Línea 232: Línea 185:
<math>
<math>
\begin{array}{ccccccccccc}
\begin{array}{ccccccccccc}
-
A_{11} & = & -3 & \qquad & A_{12} & = & ~~~6 & \qquad & A_{13} & = & -3\\
+
A_{11} & = & -3 & \qquad & A_{12} & = & ~~~6 & \qquad & A_{13} & = & -3
-
A_{21} & = & ~~6 & \qquad & A_{22} & = & -12 & \qquad & A_{23} & = & ~~6\\
+
\\
-
A_{31} & = & -3 & \qquad & A_{32} & = & ~~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3\end{array}
+
A_{21} & = & ~~6 & \qquad & A_{22} & = & -12 & \qquad & A_{23} & = & ~~6
 +
\\
 +
A_{31} & = & -3 & \qquad & A_{32} & = & ~~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3
 +
&\end{array}
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 242: Línea 198:
La matriz adjunta de &nbsp;
La matriz adjunta de &nbsp;
<math>
<math>
-
A
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
&nbsp; es
&nbsp; es
Línea 250: Línea 206:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\makebox{Adj} \left( A \right) =
+
\makebox{Adj} \left( \mathbf{A} \right) =
\left(
\left(
\begin{array}{ccc}
\begin{array}{ccc}
Línea 269: Línea 225:
<br/>
<br/>
-
El determinante de una matriz cuadrada de orden &nbsp; <math> n </math> &nbsp; es igual a la suma de los productos de los elementos
+
El determinante de una matriz cuadrada de orden &nbsp; <math> n </math> &nbsp; es igual a la suma de los productos de los elementos
-
de una línea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Simbolicamente:
+
de una línea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Simbolicamente:
-
<center>
+
<center>
-
<math>
+
<math>
-
\makebox{det} \left( \, A \, \right) \, = \, a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + \ldots + a_{in} \cdot A_{in}
+
\makebox{det} \left( \, \mathbf{A} \, \right) \, = \, a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + \ldots + a_{in} \cdot A_{in}
-
</math>
+
</math>
-
</center>
+
</center>
-
<center>
+
<center>
-
<math>
+
<math>
-
\makebox{det} \left( \, A \, \right) \, = \, a_{1j} \cdot A_{1j} + a_{2j} \cdot A_{2j} + \ldots + a_{nj} \cdot A_{nj}
+
\makebox{det} \left( \, \mathbf{A} \, \right) \, = \, a_{1j} \cdot A_{1j} + a_{2j} \cdot A_{2j} + \ldots + a_{nj} \cdot A_{nj}
-
</math>
+
</math>
-
</center>
+
</center>
<br/>
<br/>
-
==Ejercicios resueltos==
 
-
* [http://www.educared.net/universidad/asp_problemas/problemasvisualizar.asp?idAsignatura=1&idProblema=45 Calcular un determinante 4x4]
 
-
* [http://www.educared.net/universidad/asp_problemas/problemasvisualizar.asp?idAsignatura=1&idProblema=653 Desarrollo de un determinante utilizando sus propiedades generales]
 
[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión de 10:14 3 oct 2010


En esta sección se explica un procedimiento que nos permite calcular determinantes de cualquier orden, pero antes hemos de introducir los conceptos de menor complementario, adjunto y matriz adjunta.


Tabla de contenidos

Menor complementario


En una matriz cuadrada de orden   
n, \, \mathbf{A} = \left( \, a_{ij} \, \right),
  se llama menor complementario del elemento   
a_{ij},
  y lo representamos por   
\alpha_{ij},
  al determinante de la matriz cuadrada de orden   
n - 1
  que resulta de suprimir la fila   
i
  y la columna   
j
  de la matriz   
\mathbf{A}


Ejemplo


Los menores complementarios de la matriz



\mathbf{A} =
\left(
</p>
<pre> \begin{array}{ccc}
   1 & 2 & 3
   \\
   4 & 5 & 6 
   \\
   7 & 8 & 9
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


son



\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   5 & 6
   \\
   8 & 9
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{12} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   4 & 6
   \\
   7 & 9
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{13} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   4 & 5
   \\
   7 & 8
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
\\
& & 
\\
\alpha_{21} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   2 & 3
   \\
   8 & 9
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{22} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 3
   \\
   7 & 9
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{23} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 2
   \\
   7 & 8
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
\end{array}



\begin{array}[c]{ccc}
\alpha_{31} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   2 & 3
   \\
   5 & 6
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{32} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 3
   \\
   4 & 6
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{33} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 2
   \\
   4 & 5
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
\end{array}


Ejemplo


Los adjuntos de la matriz   
\mathbf{A}
  del ejemplo anterior son:



\begin{array}{ccccccccccc}
A_{11} & = & -3 & \qquad & A_{12} & = & ~~~6 & \qquad & A_{13} & = & -3
\\
A_{21} & = & ~~6 & \qquad & A_{22} & = & -12 & \qquad & A_{23} & = & ~~6
\\
A_{31} & = & -3 & \qquad & A_{32} & = & ~~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3
&\end{array}


La matriz adjunta de   
\mathbf{A}
  es



\makebox{Adj} \left( \mathbf{A} \right) =
\left(
</p>
<pre> \begin{array}{ccc}
</pre>
<p>-3 & ~~~6 & -3
\\
~~6 & -12 & ~~6
\\
-3 & ~~~6 & -3
\end{array}
\right)


Desarrollo de un determinante


El determinante de una matriz cuadrada de orden    n    es igual a la suma de los productos de los elementos
de una línea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Simbolicamente:

\makebox{det} \left( \, \mathbf{A} \, \right) \, = \, a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + \ldots + a_{in} \cdot A_{in}


\makebox{det} \left( \, \mathbf{A} \, \right) \, = \, a_{1j} \cdot A_{1j} + a_{2j} \cdot A_{2j} + \ldots + a_{nj} \cdot A_{nj}


   
 
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