¿Qué es una matriz?
De Wikillerato
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Una matriz es un cuadrado o tabla de numeros ordenados. Se llama matriz de dimension | Una matriz es un cuadrado o tabla de numeros ordenados. Se llama matriz de dimension | ||
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==Producto de matrices== | ==Producto de matrices== |
Revisión de 22:18 28 nov 2006
Una matriz es un cuadrado o tabla de numeros ordenados. Se llama matriz de dimension a un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas de la siguiente forma
La matriz se puede designar tambien como donde
Un elemento generico de la matriz se designa por en el cual el subindice representa el numero de fila que ocupa el elemento y el subindice el numero de columna.
El conjunto de matrices de dimension se denota por:
El conjunto de matrices de dimension , tambien llamadas de orden , se denota por:
Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos:
- la diagonal principal formada por los elementos de la forma
- la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma
tales que
Una matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas
Ejemplo:
Matriz fila es toda matriz rectangular con una sola fila de dimension Ejemplo:
Matriz columna es toda matriz rectangular con una sola columna de dimension Ejemplo:
Una matriz nula es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota por . Ejemplo:
Matriz triangular superior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. Ejemplo:
Matriz triangular inferior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por encima de la diagonal principal son ceros Ejemplo:
Matriz diagonal es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos no situados en la diagonal principal son ceros. Ejemplo:
Matriz escalar es toda matriz diagonal en la que todos los terminos de la diagonal principal son iguales. Ejemplo:
Matriz unidad es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son todos . Ejemplo:
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Producto de matrices
El producto de dos matrices de dimension y de dimension , es la matriz dada por:
con
Es decir, cada elemento se obtiene multiplicando la fila i-ésima de la primera matriz por la columna k-ésima de la segunda matriz. Ejemplo:
Propiedades:
- El producto de matrices cuadradas es asociativo:
- El producto de matrices cuadradas de orden
posee como elemento neutro la matriz unidad o identidad de orden ya que:
- El producto de matrices cuadradas es distributivo respecto de la suma de matrices:
Transposicion de matrices. Matriz simetrica y antisimetrica
Se llama matriz traspuesta de una matriz de dimension , a la matriz que se obtiene al cambiar en las filas por columnas o las columnas por filas. Se representa por y su dimension es
Propiedades:
-
-
-
-
Se llama matriz simetrica a toda matriz cuadrada que coincide con su transpuesta: . En una matriz simetrica cualquier par de elementos simetricos respecto a la diagonal principal son iguales. Ejemplo:
Se llama matriz antisimetrica a toda matriz cuadrada que coincide con la opuesta de su transpuesta: . En una matriz simetrica cualquier par de elementos simetricos respecto a la diagonal principal son opuestos. Ejemplo:
Matriz inversa
La matriz inversa de una matriz cuadrada de orden es la matriz de orden que verifica:
Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices singulares.
Calculo de la matriz inversa
Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:
Mediante la definicion
Por ejemplo para hallar la matriz inversa de la matriz
hacemos
como
Operando:
Método de Gauss-Jordan
La inversa de una matriz regular se calcular transformando la matriz mediante operaciones elementales por filas en la matriz
Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:
- Intercambiar las filas
y que designaremos por
- Multiplicar la fila
por el numero y sustituirla por el resultado; lo designamos por
- Multiplicar la fila
por el numero y sustituirla por el resultado; lo designamos por
- Sumar las filas
y , multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila o . Lo designamos por o
Rango de una matriz
En la matriz
Se dice que las filas
son dependientes si existen números tales que
En caso contrario, se dice que las filas son linealmente independientes.
El rango de una matriz es el número de filas o de columnas linealmente independientes que tiene esa matriz.
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