Límite de una función
De Wikillerato
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+ | \left| \, 2 - 7 \, \right| > \left| \, 2 - \left( -1 \right) \right| | ||
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==Limite de f(x) cuando x tiende a un número real== | ==Limite de f(x) cuando x tiende a un número real== | ||
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\mathrm{f} | \mathrm{f} | ||
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- | + | cuando | |
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L \in \mathbb{R} | L \in \mathbb{R} | ||
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- | + | si ambos [[Límites laterales|límites laterales]] existen y son iguales a | |
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x_0 | x_0 | ||
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- | , por la derecha o por la izquierda. | + | , por la derecha o por la izquierda. |
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\mathrm{f} | \mathrm{f} | ||
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x_0 \in\mathbb{R} | x_0 \in\mathbb{R} | ||
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- | existe y es igual a | + | por la '''''izquierda''''' existe y es igual a |
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\infty | \infty | ||
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- | + | si podemos hacer | |
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right) | \mathrm{f} \left( \, x \, \right) | ||
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tan grande como queramos, eligiendo | tan grande como queramos, eligiendo | ||
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+ | x | ||
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+ | lo suficientemente cercano a | ||
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+ | por la izquierda | ||
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+ | \left( \, x_0 > x \, \right) | ||
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+ | Es decir | ||
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+ | \forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 / | ||
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+ | \right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 \, \right) | ||
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+ | Lo expresamos de la siguiente manera: | ||
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+ | <br/> | ||
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+ | <math> | ||
+ | \lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
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+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | Analogamente, el límite de la función | ||
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+ | \mathrm{f} | ||
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+ | cuando | ||
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x | x | ||
+ | </math> | ||
+ | tiende a | ||
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+ | x_0 \in\mathbb{R} | ||
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+ | por la '''''derecha''''' existe y es igual a | ||
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+ | si podemos hacer | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathrm{f} \left( \, x \, \right) | ||
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+ | tan grande como queramos, eligiendo | ||
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+ | x | ||
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lo suficientemente cercano a | lo suficientemente cercano a | ||
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x_0 | x_0 | ||
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+ | por la derecha | ||
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+ | \left( \, x > x_0 \, \right) | ||
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\left( | \left( | ||
\, \mathrm{f} \left( \, x \, | \, \mathrm{f} \left( \, x \, | ||
- | \right) > y, | + | \right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right) |
- | + | ||
- | \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right) | + | |
\right) | \right) | ||
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- | \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty | + | \lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty |
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- | \lim_{x \to 0} \frac{1}{x | + | \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty |
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y \in \mathbb{R} | y \in \mathbb{R} | ||
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- | cualquiera e intentamos encontrar un | + | cualquiera e intentamos encontrar un |
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- | + | de manera que | |
- | de manera que | + | |
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- | x \in | + | x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y |
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y | y | ||
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- | no es positivo, entonces cualquier | + | no es positivo, entonces cualquier |
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\delta > 0 | \delta > 0 | ||
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- | verifica | + | verifica |
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- | x \in | + | x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y |
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- | \delta = \frac{1} | + | \delta = \frac{1}{y} |
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- | x \in | + | x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y |
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\mathrm{f} | \mathrm{f} | ||
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- | + | cuando | |
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x | x | ||
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x_0 \in\mathbb{R} | x_0 \in\mathbb{R} | ||
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- | existe y es igual a | + | por la '''''izquierda''''' existe y es igual a |
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-\infty | -\infty | ||
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- | + | si podemos hacer | |
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right) | \mathrm{f} \left( \, x \, \right) | ||
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tan pequeño como queramos, eligiendo | tan pequeño como queramos, eligiendo | ||
+ | <math> | ||
+ | x | ||
+ | </math> | ||
+ | lo suficientemente cercano a | ||
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+ | por la izquierda | ||
+ | <math> | ||
+ | \left( \, x_0 > x \, \right) | ||
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+ | . | ||
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+ | <br/> | ||
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+ | Es decir | ||
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+ | <math> | ||
+ | \forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 / | ||
+ | \left( | ||
+ | \, y > \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 \, \right) | ||
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+ | </center> | ||
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+ | Lo expresamos de la siguiente manera: | ||
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+ | <br/> | ||
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+ | <math> | ||
+ | \lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
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+ | <br/> | ||
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+ | Analogamente, el límite de la función | ||
+ | <math> | ||
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+ | cuando | ||
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x | x | ||
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+ | por la '''''derecha''''' existe y es igual a | ||
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+ | si podemos hacer | ||
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lo suficientemente cercano a | lo suficientemente cercano a | ||
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\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 / | \forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 / | ||
\left( | \left( | ||
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\right) | \right) | ||
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- | \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty | + | \lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty |
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\mathrm{f} | \mathrm{f} | ||
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\infty | \infty | ||
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- | + | es | |
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L \in \mathbb{R} | L \in \mathbb{R} | ||
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+ | Si el límite de la funcion | ||
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+ | entonces la gráfica de la función | ||
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+ | tiene una [[Asintotas#Asintotas horizontales|asintota horizontal]] por la | ||
+ | derecha de ecuación | ||
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+ | y = L | ||
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\mathrm{f} | \mathrm{f} | ||
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- | + | cuando | |
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- | + | si podemos hacer | |
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right) | \mathrm{f} \left( \, x \, \right) | ||
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- | + | si podemos hacer | |
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L \in \mathbb{R} | L \in \mathbb{R} | ||
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+ | <br/> | ||
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+ | Si el límite de la funcion | ||
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+ | cuando | ||
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+ | x | ||
+ | </math> | ||
+ | tiende a | ||
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+ | -\infty | ||
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+ | es | ||
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+ | L \in \mathbb{R} | ||
+ | </math>, | ||
+ | entonces la gráfica de la función | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathrm{f} | ||
+ | </math> | ||
+ | tiene una [[Asintotas#Asintotas horizontales|asintota horizontal]] por la | ||
+ | izquierda de ecuación | ||
+ | <math> | ||
+ | y = L | ||
+ | </math>. | ||
<br/> | <br/> | ||
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\mathrm{f} | \mathrm{f} | ||
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- | + | cuando | |
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x | x | ||
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\infty | \infty | ||
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- | + | si podemos hacer | |
<math> | <math> | ||
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) | \mathrm{f} \left( \, x \, \right) | ||
Línea 669: | Línea 893: | ||
\mathrm{f} | \mathrm{f} | ||
</math> | </math> | ||
- | + | cuando | |
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x | x | ||
Línea 681: | Línea 905: | ||
-\infty | -\infty | ||
</math> | </math> | ||
- | + | si podemos hacer | |
<math> | <math> | ||
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) | \mathrm{f} \left( \, x \, \right) |
Revisión actual
Tabla de contenidos |
Nota sobre terminología
Utilizamos la palabra pequeño ( grande) de la siguiente manera:
es mas pequeño ( grande ) que
si y solo si
.
Es decir,
es mas pequeño ( grande ) que
si
es menor ( mayor ) que
.
La distancia entre dos puntos
y
de la recta real
es
.
Cuanto mas pequeña sea esta distancia mas proximos o
cercanos diremos que estan los puntos
y
.
Por ejemplo,
esta mas cerca de
que el
ya que
Limite de f(x) cuando x tiende a un número real
Limite finito
El límite de la función
cuando
tiende a
existe y es igual a
si ambos límites laterales existen y son iguales a
, es decir
Lo expresamos de la siguiente manera:
El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer
tan cercano a
como queramos eligiendo
lo suficientemente proximo a
, por la derecha o por la izquierda.
Limite infinito
El límite de la función
cuando
tiende a
por la izquierda existe y es igual a
si podemos hacer
tan grande como queramos, eligiendo
lo suficientemente cercano a
por la izquierda
.
Es decir
Lo expresamos de la siguiente manera:
Analogamente, el límite de la función
cuando
tiende a
por la derecha existe y es igual a
si podemos hacer
tan grande como queramos, eligiendo
lo suficientemente cercano a
por la derecha
.
Es decir
Lo expresamos de la siguiente manera:
Ejemplo
Demostremos que
Para ello seleccionamos un
cualquiera e intentamos encontrar un
de manera que
Si
no es positivo, entonces cualquier
verifica
Si
es positivo, entonces
Por lo tanto, si elegimos
se verifica que
Limite menos infinito
El límite de la función
cuando
tiende a
por la izquierda existe y es igual a
si podemos hacer
tan pequeño como queramos, eligiendo
lo suficientemente cercano a
por la izquierda
.
Es decir
Lo expresamos de la siguiente manera:
Analogamente, el límite de la función
cuando
tiende a
por la derecha existe y es igual a
si podemos hacer
tan pequeño como queramos, eligiendo
lo suficientemente cercano a
por la derecha
.
Es decir
Lo expresamos de la siguiente manera:
Cuando alguno de los limites laterales de
cuando
tiende a
es infinito o menos infinito, la grafica de
tiene una asintota vertical de ecuación
.
Limite de f(x) cuando x tiende a infinito
Limite finito
Se dice que el límite de la funcion
cuando
tiende a
es
si cualquier sucesión
que tiende a
verifica que
.
Lo expresamos como:
El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer
tan cercano a
como queramos eligiendo
lo suficientemente grande.
Es decir
Si el límite de la funcion
cuando
tiende a
es
,
entonces la gráfica de la función
tiene una asintota horizontal por la
derecha de ecuación
.
Limite infinito
El límite de la función
cuando
tiende a
existe y es igual a
si podemos hacer
tan grande como queramos, eligiendo
lo suficientemente grande.
Es decir
Lo expresamos de la siguiente manera:
Limite menos infinito
El límite de la función
cuando
tiende a
existe y es igual a
si podemos hacer
tan pequeño como queramos, eligiendo
lo suficientemente pequeño.
Es decir
Lo expresamos de la siguiente manera:
Limite de f(x) cuando x tiende a menos infinito
Limite finito
Se dice que el límite de la funcion
cuando
tiende a
es
si cualquier sucesión
que tiende a
verifica que
.
Lo expresamos como:
El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer
tan cercano a
como queramos eligiendo
lo suficientemente pequeño.
Es decir
Si el límite de la funcion
cuando
tiende a
es
,
entonces la gráfica de la función
tiene una asintota horizontal por la
izquierda de ecuación
.
Limite infinito
El límite de la función
cuando
tiende a
existe y es igual a
si podemos hacer
tan grande como queramos, eligiendo
lo suficientemente pequeño.
Es decir
Lo expresamos de la siguiente manera:
Limite menos infinito
El límite de la función
cuando
tiende a
existe y es igual a
si podemos hacer
tan pequeño como queramos, eligiendo
lo suficientemente pequeño.
Es decir
Lo expresamos de la siguiente manera: