Teorema de Bayes
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Enunciado
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Demostración
Por definición de probabilidad condicionada
despejando
, se tiene:
La probabilidad
, por el teorema de la probabilidad total, es igual a
Sustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos la fórmula de Bayes.
Ejemplo
Tenemos tres urnas:
con tres bolas rojas y cinco negras,
con dos bolas rojas y una negra y
con dos bolas rojas y tres negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una
bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna
?
Llamamos
al suceso sacar bola roja. La probabilidad pedida es
. Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:
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