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Procedimiento para factorizar un polinomio

De Wikillerato


1. Sacamos  x factor común, si ello es posible, y tantas veces como se pueda.


2. Si el polinomio   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
  es de grado dos:


\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = ax^2 + bx + c

resolvemos la ecuación


\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = ax^2 + bx + c = 0

Si esta ecuación no tiene solución, el polinomio   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
  es irreducible, pero si la ecuación anterior tiene soluciones   
r_1
  y   
r_2
,   entonces podemos factorizar   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
  de la siguiente manera:


\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = a \cdot \left( \, x - r_1 \, \right) \cdot
\left( \, x - r_2 \, \right)

Puede ocurrir que   
r_1
  y   
r_2
  coincidan ( sean iguales ).


3. Si el polinomio


\mathrm{P} \left(  \, x \,  \right) =  a_n \cdot x^n  + a_{n-1} \cdot  x^{n-1} +
\ldots + a_1 \cdot x + a_0


es de grado mayor que dos y


sus coeficientes son enteros,


intentamos encontrar las raices reales del polinomio 
\mathrm{P}
entre los números racionales de la forma   
\frac{a}{b}
  donde 
a
es un divisor de   
a_n
  y 
b
es un divisor de   
a_0
,   utilizando para ello la regla de Ruffini con cada una de estas fracciones y con el polinomio 
\mathrm{P}
.


 \mathrm{P} \left( \, a \, \right) = 0    si y solo si   x - a    es divisor de    \mathrm{P} \left( \, x   \, \right) .


Así, si llegado a un cierto punto en el proceso de factorización hemos encontrado raices   
r_1, r_2, \ldots r_n
  del polinomio 
\mathrm{P}
, entonces existe un polinomio 
\mathrm{Q}
tal que


\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = \left( \, x - r_1 \, \right) \cdot
\left( \,  x - r_2 \,  \right) \cdot \ldots \cdot  \left( \, x -  r_n \, \right)
\cdot \mathrm{Q} \left( \, x \, \right)


e intentariamos descomponer mas 
\mathrm{P}
factorizando 
\mathrm{Q}
.


Ejemplo


Factorizemos el polinomio:


\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x^4 - 12x^3 + 22x^2 - 12x

Como se puede sacar un 
x
factor común, eso es lo primero que hacemos:


\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x^4 - 12x^3 + 22x^2 - 12x =
x \cdot \left( \, 2x^3 - 12x^2 + 22x - 12 \, \right)

A continuación factorizamos


\mathrm{Q} \left( \, x \, \right) = 2x^3 - 12x^2 + 22x - 12

Como se trata de un polinomio de grado mayor que dos y con coeficiente enteros, utilizamos la regla de Ruffini con este polinomio y con las fracciones de la forma   
\frac{a}{b}
,   donde 
a
es un divisor de   
a_0 = -12
  y 
b
es un divisor de   
a_3 = 2
.   Utilizando la regla de Ruffini con estas fracciones encontramos que 3 es una raiz de   
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)
,   es decir,   
\mathrm{Q} \left( \, 3 \, \right) = 0
,   y que


2x^3 - 12x^2 + 22x - 12 = \left( \, x - 3 \, \right) \cdot
\left(
</p>
<pre> \, 2x^2 - 6x + 4 \,
</pre>
<p>\right)

Finalmente, factorizamos el polinomio


2x^2 - 6x + 4

resolviendo la ecuación


2x^2 - 6x + 4 = 0

cuyas soluciones son 2 y 1, de manera que


2x^2 - 6x + 4 = 2 \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, x - 2 \, \right)

y, por tanto


\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \,
</p>
<pre> x - 2 \, \right) \cdot \left( \, x - 3 \, \right)
</pre>
<p>

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